Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№840 учебника 2023-2025 (стр. 170):
Докажите тождество:
а) \((a + b)^2 + (a - b)^2 = 2\bigl(a^2 + b^2\bigr)\);
б) \((a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab\);
в) \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\);
г) \((a + b)^2 - 2b(a + b) = a^2 - b^2\).
№840 учебника 2013-2022 (стр. 171):
Найдите значение выражения:
а) \(y^2 - 2y + 1\) при
\(y = 101; -11; 0{,}6\);
б) \(4x^2 - 20x + 25\) при
\(x = 12{,}5; 0; -2\);
в) \(25a^2 + 49 + 70a\) при
\(a = 0{,}4; -2; -1{,}6\).
№840 учебника 2023-2025 (стр. 170):
Вспомните:
№840 учебника 2013-2022 (стр. 171):
Вспомните:
№840 учебника 2023-2025 (стр. 170):
а) \((a + b)^2 + (a - b)^2 = 2\bigl(a^2 + b^2\bigr)\);
\(\bigl(a^2 + 2ab + b^2\bigr) + \bigl(a^2 - 2ab + b^2\bigr) =2\bigl(a^2 + b^2\bigr)\)
\(a^2 + \cancel{2ab} + b^2 + a^2 - \cancel{2ab} + b^2 =2\bigl(a^2 + b^2\bigr)\)
\(2a^2 + 2b^2 = 2\bigl(a^2 + b^2\bigr) \)
\(2\bigl(a^2 + b^2\bigr) = 2\bigl(a^2 + b^2\bigr)\)
Тождество доказано.
б) \( (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab\)
\(\bigl(a^2 + 2ab + b^2\bigr) - \bigl(a^2 - 2ab + b^2\bigr)=4ab\)
\(\cancel{a^2} + 2ab + \cancel{b^2} - \cancel{a^2} + 2ab - \cancel{b^2}=4ab \)
\(4ab = 4ab\)
Тождество доказано.
в) \( (a + b)^2 - 2ab =a^2 + b^2\)
\(a^2 + \cancel{2ab} + b^2 - \cancel{2ab} =a^2 + b^2\)
\(a^2 + b^2=a^2 + b^2 \)
Тождество доказано.
г) \( (a + b)^2 - 2b(a + b) =a^2 - b^2\)
\(\bigl(a^2 + 2ab + ]b^2\bigr) - \bigl(2ab + 2b^2\bigr) =a^2 - b^2\)
\(a^2 + \cancel{2ab} + b^2 - \cancel{2ab} - 2b^2 =a^2 - b^2\)
\(a^2 - b^2=a^2 - b^2 \)
Тождество доказано.
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
3) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.
4) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:
\(ax + bx=(a+b)x\).
Противоположные члены мы вычеркиваем, так как их сумма равна нулю.
В каждом случае, для доказательства тождества, преобразуем левую часть данного равенства, получая правую часть.
№840 учебника 2013-2022 (стр. 171):
а) \(y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2\).
при \(y = 101\):\[ (101 - 1)^2 = 100^2 = 10000. \]
при \(y = -11\):\[ (-11 - 1)^2 = (-12)^2 = 144. \]
при \(y = 0{,}6\):\[ (0{,}6 - 1)^2 = (-0{,}4)^2 = 0{,}16. \]
б) \(4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2\).
при \(x = 12{,}5\):\[ (2\cdot12{,}5 - 5)^2 = (25 - 5)^2 = \\ =20^2 = 400. \]
при \(x = 0\):\[ (2\cdot0 - 5)^2 = (-5)^2 = 25. \]
при \(x = -2\):\[ (2\cdot(-2) - 5)^2 = (-4 - 5)^2 =\\= (-9)^2 = 81. \]
в) \(25a^2 + 49 + 70a = (5a + 7)^2\).
при \(a = 0{,}4\):\[ (5\cdot0{,}4 + 7)^2 = (2 + 7)^2 = 9^2 = 81. \]
при \(a = -2\):\[ (5\cdot(-2) + 7)^2 = (-10 + 7)^2 =\\ = (-3)^2 = 9. \]
при \(a = -1{,}6\):\[ (5\cdot(-1{,}6) + 7)^2 = (-8 + 7)^2 =\\ = (-1)^2 = 1. \]
Пояснения:
Использованные формулы:
1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
При этом учитывали свойство степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)
Подробнее:
В каждом случае исходный трёхчлен является полным квадратом двучлена, что позволяет сначала переписать его в виде \((a+b)^2\) и \((a-b)^2\), а затем легко подставить значения переменной и возвести в квадрат уже простое выражение \(a+b\) и \(a-b\). Это уменьшает количество вычислений и минимизирует ошибки.
Вернуться к содержанию учебника