Упражнение 842 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 171

а) \( (x + 1)^2 = (x - 3)^2 + 120 \)

\( x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9 + 120 \)

\( \cancel{x^2} + 2x - \cancel{x^2} + 6x = 120 + 9 - 1 \)

\( 8x = 128 \)

\(x=\frac{128}{8}\)

\( x = 16. \)

Ответ: при \( x = 16. \)

б) \( (2x + 10)^2 = 4\,(x - 5)^2 \)

\( 4x^2 + 40x + 100 = 4\,(x^2 - 10x + 25) \)

\( 4x^2 + 40x + 100 = 4x^2 - 40x + 100 \)

\( \cancel{4x^2} + 40x - \cancel{4x^2} + 40x = 100 - 100 \)

\( 80x = 0 \)

\( x = 0. \)

Ответ: при \( x = 0. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

5) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

6) Корни уравнения не изменяются если слагаемые перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом их знаки.

7) Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

а) Составили уравнение по условию: квадрат \(x+1\) на 120 больше квадрата \(x-3\). Раскрыли оба квадрата, перенесли слагаемые с переменной в левую часть, без переменной в правую, сократили \(x^2\), получили линейное уравнение \( 8x = 128 \), откуда \(x=16\).

б) Составили уравнение по условию: квадрат \(2x+10\) в 4 раза больше квадрата двучлена \(x-5\). Раскрыли оба квадрата, в правой части уравнения полученный многочлен умножили на 4, перенесли слагаемые с переменной в левую часть, без переменной в правую, сократили \(4x^2\), получили линейное уравнение

\(80x=0\), откуда \(x=0\).

а) \(x^2 - 30x + 225 = (x - 15)^2\geqslant0\).

б) \(-x^2 + 2xy - y^2 =\)

\(= -\bigl(x^2 - 2xy + y^2\bigr) =\)

\(=-(x - y)^2\leqslant 0\).

Пояснения:

Использованные формулы и правила:

Использованные приемы и формулы:

1) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

2) Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых:

\(-(а + b) = -a - b\)

3) Квадрат выражения всегда неотрицателен:

\( a^2 \ge 0. \)

4) При умножении неотрицательного числа на \(-1\) получается не положительное число: \( -a^2 \le 0. \)

Пояснение к пункту а):

Применили формулу квадрата разности. Получили полный квадрат, который никогда не бывает отрицательным.

Пояснение к пункту б):

Сначала вынесли минус за скобки, в скобках записали противоположное выражение, затем применили к выражению в скобках формулу квадрата разности. Квадрат неотрицателен, а перед ним стоит «−», поэтому выражение всегда неположительно.