Упражнение 832 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(18a + (a - 9)^2 = \)

\(=18a + (a^2 - 18a + 81)=\)

\(=a^2 - \cancel{18a} + 81 + \cancel{18a}=\)

\(=a^2 + 81\).

б) \((5x - 1)^2 - 25x^2 =\)

\(=(25x^2 - 10x + 1) - 25x^2=\)

\(=\cancel{25x^2} - 10x + 1 - \cancel{25x^2}=\)

\(=-10x + 1\).

в) \(4x^2 - (2x - 3)^2 = \)

\(=4x^2 - (4x^2 - 12x + 9)=\)

\(=\cancel{4x^2} - \cancel{4x^2} + 12x - 9=\)

\(=12x - 9\)

г) \((a + 2b)^2 - 4b^2 = \)

\(=(a^2 + 4ab + 4b^2) - 4b^2=\)

\(=a^2 + 4ab + \cancel{4b^2} - \cancel{4b^2}=\)

\(=a^2 + 4ab\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

5) Сокращение противоположных членов, так как их сумма равна нулю.

Пункт а): раскрыли квадрат разности \( (a - 9)^2 \), получив \(a^2 - 18a + 81\), затем прибавили \(18a\) и сократили противоположные члены \(-18a + 18a\).

Пункт б): раскрыли квадрат разности \((5x - 1)^2\), получив \(25x^2 - 10x + 1\), затем вычли \(25x^2\) и сократили противоположные члены \(25x^2\).

Пункт в): раскрыли квадрат разности \((2x - 3)^2\), получив \(4x^2 - 12x + 9\), затем из \(4x^2\) вычли полученный многочлен и сократили противоположные члены \(4x^2\).

Пункт г): раскрыли квадрат суммы \((a + 2b)^2\), получив \(a^2 + 4ab + 4b^2\), затем вычли \(4b^2\) и сократили противоположные члены \(4b^2\).

Известно, что через 5 ч поезда, ещё не встретившись, находились на расстоянии 170 км друг от друга.

1) Составим уравнение:

\( 5x + 5(x + 10) = 1020 - 170 \)

\( 5x + 5x + 50 = 850 \)

\( 10x + 50 = 850\)

\(10x = 800\)

\(x = \frac{800}{10}\)

\(x = 80 \) (км/ч) - скорость одного поезда.

2) \(80 + 10 = 90\) (км/ч) - скорость второго поезда.

Ответ: 80 км/ч и 90 км/ч.

Пояснения:

– Обозначили неизвестную скорость медленного поезда через \(x\), тогда скорость быстрого поезда \(x + 10\) .

– За 5 ч медленный поезд прошёл \(5x\), быстрый поезд — \(5(x + 10)\).

– При движении навстречу их суммарный путь за 5 ч равен

\(1020 - 170\).

– Составили уравнение, раскрыли скобки:

\(a(b + c) = ab + ac\).

– Привели подобные:

\(ax + bx = (a+b)x\).

– Перенесли число из левой части уравнения в правую, получили линейное уравнение \(ax=b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).