Упражнение 809 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2 - 10x + 24 =\)

\(=x^2 - 6x - 4x + 24 =\)

\(=(x^2 - 6x) - (4x - 24) =\)

\(=x(x - 6) - 4(x - 6) =\)

\(=(x - 4)(x - 6).\)

б) \(x^2 - 13x + 40 =\)

\(=x^2 - 5x - 8x + 40 =\)

\(=(x^2 - 5x) - (8x - 40) =\)

\(=x(x - 5) - 8(x - 5) =\)

\(=(x - 8)(x - 5).\)

в) \(x^2 + 8x + 7 =\)

\(=x^2 + x + 7x + 7 =\)

\(=(x^2 + x) + (7x + 7) =\)

\(x(x + 1) + 7(x + 1) =\)

\(=(x + 7)(x + 1).\)

г) \(x^2 + 15x + 54 =\)

\(=x^2 + 6x + 9x + 54 =\)

\(=(x^2 + 6x) + (9x + 54) =\)

\(=x(x + 6) + 9(x + 6) =\)

\(=(x + 9)(x + 6).\)

д) \(x^2 + x - 12 =\)

\(=x^2 + 4x - 3x - 12 =\)

\(=(x^2 + 4x) - (3x + 12) =\)

\(=x(x + 4) - 3(x + 4) =\)

\(=(x - 3)(x + 4).\)

е) \(x^2 - 2x - 35 =\)

\(x^2 + 5x - 7x - 35 =\)

\(=(x^2 + 5x) - (7x + 35) =\)

\(=x(x + 5) - 7(x + 5) =\)

\(=(x - 7)(x + 5).\)

Пояснения:

Метод разложения по среднему члену:

Средний член представляют как сумму двух подобных членов \(px + qx\) и так, чтобы появились пары членов, у которых можно вынести общий множитель за скобки, группируют:

\(x^2 + bx + c =\)

\(=x^2 + px + qx + c =\)

\(=x(x + p) + q(x + p) =\)

\(=(x + q)(x + p).\)

а) Для \(x^2 - 10x + 24\) выбраны

\(p = -6,\;q = -4\).

б) Для \(x^2 - 13x + 40\) выбраны

\(p = -5,\;q = -8\).

в) Для \(x^2 + 8x + 7\) выбраны

\(p = 1,\;q = 7\).

г) Для \(x^2 + 15x + 54\) выбраны

\(p = 6,\;q = 9\).

д) Для \(x^2 + x - 12\) выбраны

\(p = 4,\;q = -3\).

е) Для \(x^2 - 2x - 35\) выбраны

\(p = 5,\;q = -7\).

а) \((-3a+10b)^2 = (10b-3a)^2 =\)

\(= (10b)^2 - 2\cdot10b\cdot3a +(3a)^2 =\)

\(=100b^2 - 60ab + 9a^2.\)

б) \((-6m-n)^2 =(6m+n)^2=\)

\(=(6m)^2 + 2\cdot6m\cdot{n} + n^2 =\)

\(=36m^2 + 12mn + n^2.\)

в) \((8x-0{,}3y)^2 =\)

\(=(8x)^2 - 2\cdot8x\cdot0{,}3y + (0{,}3y)^2 =\)

\(=64x^2 - 4{,}8xy + 0{,}09y^2.\)

г) \(\bigl(5a+\tfrac{1}{15}b\bigr)^2 =\)

\(=(5a)^2 + 2\cdot5a\cdot\tfrac{1}{15}b + \bigl(\tfrac{1}{15}b\bigr)^2 =\)

\(=25a^2 + \tfrac{2}{3}ab + \tfrac{1}{225}b^2.\)

д) \((-0{,}2p-10q)^2 =\)

\(=(0{,}2p)^2 + 2\cdot0{,}2p\cdot10q + (10q)^2 =\)

\(=0{,}04p^2 + 4pq + 100q^2.\)

е) \((0{,}8x-0{,}1y)^2 =\)

\(=(0{,}8x)^2 - 2\cdot0{,}8x\cdot0{,}1y+ (0{,}1y)^2 =\)

\(=0{,}64x^2 - 0{,}16xy + 0{,}01y^2.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) Квадрат выражения нечувствителен к смене знака перед ним:

\(( -a-b )^2 = (a+b)^2 \),

4) Свойство возведения произведения в степень:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)