Упражнение 803 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть сторона квадрата \(x\) см. Тогда длина прямоугольника \(x + 4\) см, а ширина - \(x - 5\) см. Известно, что площадь квадрата больше площади прямоугольника на 40 см².

1) Составим уравнение:

\( x^2 = (x+4)(x-5) + 40 \)

\( x^2 = x^2 -5x +4x -20 +40 \)

\(x^2 = x^2 - x +20. \)

\(x^2 - x^2 + x = 20. \)

\(x = 20 \text{ (см)}\) - сторона квадрата.

2) \(20 + 4 = 24 \text{ (см)} \)- длина прямоугольника.

3) \(20 -5 = 15\text{ (см)} \) - ширина прямоугольника.

\( S = 24 \cdot 15 = 360\text{ см}^2 \)

Ответ: площадь прямоугольника равна \(360 \text{ см}^2 \)/

Пояснения:

1. Первым шагом обозначили сторону квадрата переменной \(x\), что позволило выразить стороны прямоугольника: длину \(x+4\) и ширину \(x-5\).

2. Далее составили уравнение

\(x^2 = (x+4)(x-5) + 40\), которое отражает то, что площадь квадрата на 40 см² больше площади прямоугольника (площадь квадрата равна квадрату его стороны; площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины).

3. Раскрыли скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, перенесли слагаемые с переменной в левую часть уравнения, изменив их знак, привели подобные члены и сократили противоположные члены \(x^2\).

4. Упростив уравнение, нашли сторону квадрата \(x = 20 \text{ (см)}\).

5. Нашли стороны прямоугольника:

длину \(20 + 4 = 24 \text{ (см)} \),

ширину \(20 -5 = 15\text{ (см)} \).

6. Вычислили площадь прямоугольника, перемножив его длину и ширину:

\( S = 24 \cdot 15 = 360\text{ см}^2 \).

а) \((2x + 3)^2 =\)

\(=(2x)^2 + 2\cdot2x\cdot3 + 3^2 =\)

\(=4x^2 + 12x + 9.\)

б) \((7y - 6)^2 = \)

\(=(7y)^2 - 2\cdot7y\cdot6 + 6^2 =\)

\(=49y^2 - 84y + 36.\)

в) \((10 + 8k)^2 =\)

\(=10^2 + 2\cdot10\cdot8k + (8k)^2 =\)

\(=100 + 160k + 64k^2.\)

г) \((5y - 4x)^2 =\)

\(=(5y)^2 - 2\cdot5y\cdot(4x) + (4x)^2 =\)

\(=25y^2 - 40xy + 16x^2.\)

д) \(\bigl(5a + \tfrac{1}{5}b\bigr)^2 =\)

\(=(5a)^2 + 2\cdot5a\cdot\tfrac{1}{5}b + \bigl(\tfrac{1}{5}b\bigr)^2 =\)

\(=25a^2 + 2ab + \tfrac{1}{25}b^2.\)

е) \(\bigl(\tfrac{1}{4}m - 2n\bigr)^2 =\)

\(=\bigl(\tfrac{1}{4}m\bigr)^2 - 2\cdot\tfrac{1}{4}m\cdot(2n) + (2n)^2 =\)

\(=\tfrac{1}{16}m^2 - m n + 4n^2.\)

ж) \((0{,}3x - 0{,}5a)^2 =\)

\(=(0{,}3x)^2 - 2\cdot0{,}3x\cdot(0{,}5a) + (0{,}5a)^2 =\)

\(=0{,}09x^2 - 0{,}3xa + 0{,}25a^2.\)

з) \((10c + 0{,}1y)^2 =\)

\(=(10c)^2 + 2\cdot10c\cdot0{,}1y + (0{,}1y)^2 =\)

\(=100c^2 + 2c y + 0{,}01y^2.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) Затем выполняем возведение в степень, используя свойство возведения произведения в степень:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)