Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№785 учебника 2023-2025 (стр. 161):
Разложите на множители:
а) \((a - 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b);\)
б) \((x + 8y)(2x - 5b) - 8y(2x - 5b);\)
в) \(7a^2(a - x) + (6a^2 - a x)(x - a);\)
г) \(11b^2(3b - y) - (6y - 3b^2)(y - 3b).\)
№785 учебника 2013-2022 (стр. 161):
Докажите, что:
а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;
б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.
№785 учебника 2023-2025 (стр. 161):
Вспомните:
№785 учебника 2013-2022 (стр. 161):
Вспомните:
№785 учебника 2023-2025 (стр. 161):
а) \( (a - 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b) =\)
\(=(a+2b)\bigl(a - 3b + 5a\bigr) =\)
\(=(a+2b)(6a - 3b) =\)
\(=3(a+2b)(2a - b).\)
б) \((x + 8y)(2x - 5b) - 8y(2x - 5b) =\)
\(=(2x - 5b)\bigl((x + 8y - 8y\bigr) =\)
\(=(2x - 5b)\,x = x(2x - 5b).\)
в) \( 7a^2(a - x) + (6a^2 - a x)(x - a) =\)
\(=7a^2(a - x) - (6a^2 - a x)(a - x) =\)
\(=(a - x)\bigl(7a^2 - (6a^2 - a x)\bigr) =\)
\(=(a - x)\bigl(7a^2 - 6a^2 + a x\bigr) =\)
\(=(a - x)(a^2 + a x) = \)
\(=a(a + x)(a - x). \)
г) \( 11b^2(3b - y) - (6y - 3b^2)(y - 3b) =\)
\(=11b^2(3b - y) + (6y - 3b^2)(3b - y) =\)
\(=(3b - y)\bigl(11b^2 + (6y - 3b^2)\bigr) =\)
\(=(3b - y)\bigl(11b^2 + 6y - 3b^2\bigr) =\)
\(=(3b - y)(8b^2 + 6y) =\)
\(=2(3b - y)(4b^2 + 3y). \)
Пояснения:
1. Вынос общего множителя. В каждом выражении находим общий множитель (скобку или одночлен) и выносим его за скобку.
2. Приведение подобных членов в скобке. После выноса раскрываем и приводим подобные внутри скобки: складываем или вычитаем степени и множители.
3. Использование свойств знаков. Для случаев, когда встречается \(x - a\) вместо \(a - x\), применяем правило \(x - a = -(a - x)\).
4. Дальнейшее упрощение. При необходимости выносим за скобки числовые множители (например, 3 или 2) для окончательного разложения.
№785 учебника 2013-2022 (стр. 161):
а) Пусть четыре последовательных целых числа:
\(x,\;x+1,\;x+2,\;x+3\).
\( (x+1)(x+2)\;-\;x(x+3) =\)
\(=\cancel{x^2} + \cancel{3x}+2 - \cancel{x^2} - \cancel{3x}=2. \)
б) Пусть три последовательных нечётных числа:
\( 2x+1,\;2x+3,\;2x+5\).
\( (2x+3)^2-(2x+1)(2x+5)= \)
\( (2x+3)(2x+3) - (2x+1)(2x+5)= \)
\(=(4x^2+6x+6x+9) -(4x^2+10x+2x+5) =\)
\(=(4x^2+12x+9) -(4x^2+12x+5) =\)
\(=\cancel{4x^2}+\cancel{12x}+9 - \cancel{4x^2}-\cancel{12x}-5 =\)
\(=9 - 5 = 4.\)
Пояснения:
1. Метод «через разность» состоит в сравнении выражений путём вычитания: выясняем, на какое число одно выражение больше другого.
2. Раскрываем скобки по правилам:
• умножения многочлена на многочлен:
\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\);
• умножения одночлена на многочлен:
\(a(b+c)=ab+ac\).
3. В пункте (а) после раскрытия скобок сокращаются члены \(x^2\) и \(3x\), остаётся 2.
4. В пункте (б) сначала представляем квадрат среднего числа в виде произведения двух одинаковых скобок по определению степени, после раскрытия скобок сокращаются члены \(x^2\) и \(4x\), остаётся 4.
5. Полученные равенства доказывают:
а) произведение средних чисел больше произведения крайних на 2;
б) квадрат среднего нечётного на 4 больше произведения двух крайних чисел.
Вернуться к содержанию учебника