Упражнение 783 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( a^{20}-a^{10}+a^5 = \)

\(=a^5\bigl(a^{15}-a^5+1\bigr) \).

б) \( b^{60}+b^{40}-b^{20} = \)

\(=b^{20}\bigl(b^{40}+b^{20}-1\bigr) \).

в) \( a^{10}-a^8-a^6 = \)

\(=a^6\bigl(a^4 - a^2 -1\bigr) \)

г) \( b^{40}+b^{20}+b^{10} =\)

\(=b^{10}\bigl(b^{30}+b^{10}+1\bigr) \).

Пояснения:

Правило вынесения общего множителя за скобки: выносим переменную в меньшей степени, учитывая свойство степеней:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

Для каждого выражения выделили наименьшую степень:

— в) и а) наименьшая степень \(a^5\) и \(a^6\) соответственно;

— в) и г) наименьшая степень \(b^{20}\) и \(b^{10}\) соответственно.

Таким образом каждое выражение приведено к произведению одночлена и многочлена, что и является разложением на множители.

а) Пусть первые пять последовательных натуральных чисел:

\(x,\;x+1,\;x+2,\;x+3,\;x+4\).

\(x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) =\)

\(5x + 10 = 5(x + 2)\) - делится на 5.

б) Пусть четыре последовательных нечётных числа:

\(2x+1,\;2x+3,\;2x+5,\;2x+7\).

\((2x+1) + (2x+3) + (2x+5) + (2x+7) =\)

\(=8x + 16 = 8(x + 2)\) - делится на 8.

Пояснения:

1. Теорема о делимости: если натуральное число представимо как \(d\cdot k\), то оно делится на \(d\).

2. Для доказательства делимости удобно представить последовательные числа через первую переменную \(x\), затем сложить и вынести общий множитель.

2. В пункте (а) после сложения получилось \(5x + 10\), затем вынесли общий множитель 5 за скобки, получили \(5(x+2)\), что сразу даёт делимость на 5.

3. В пункте (б) после сложения получилось \(8x + 16\), затем вынесли общий множитель 8 за скобки, получили \(8(x + 2)\), что сразу даёт делимость на 8.