Упражнение 776 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 160

1) \(2 \text{ч } 24 \text{ мин} =2\frac{\cancel{24}^2}{\cancel{60}^5}\text{ ч}=2\frac{2}{5}\text{ ч}=2,4\text{ ч}\)

2) \(120 \cdot 2 = 240 \text{ (км)}\) - вместе проехали первый и второй мотоциклисты.

3) Составим уравнение:

а) \(2{,}4\cdot1{,}5x + 2{,}4x = 240\)

\(3,6x + 2{,}4x = 240\)

\(6x = 240\)

\(x = \frac{240}{6}\)

\(x = 40 \text{ (км/ч)}\) - скорость первого мотоциклиста.

4) \(1{,}5x = 1{,}5 \cdot 40 = 60 \text{ (км/ч)}\) - скорость второго мотоциклиста.

б) \(120 - 2,4\cdot40 = 120 - 96 = \)

\(=24 \text{ (км)}\) - расстояние от места встречи до B.

Ответ: 40 км/ч, 60 км/ч, 24 км.

Пояснения:

Использованные формулы и обозначения:

\(x\) — скорость первого (медленного) мотоциклиста;

\(1{,}5x\) — скорость второго (быстрого) мотоциклиста;

\(s = vt\) — путь равен произведению скорости на время.

1. За время \(t = 2{,}4\) ч (т.е. 2 ч 24 мин) первый проехал от A до точки встречи путь

\[x \cdot 2{,}4 = 2{,}4x.\]

2. Второй за это же время прошёл путь

\[1{,}5x \cdot 2{,}4 = 3{,}6x,\]

из которых первые 120 км — от A до B, а оставшиеся — от B до места встречи, то есть получается, что вместе мотоциклисты проехали

\(120 \cdot 2 = 240 \text{ (км)}\), поэтому составляем следующее уравнение:

\(3{,}6x + 2{,}4x = 240\), откуда

\(6x = 240\) и получаем, что скорость первого мотоциклиста:

\(x = 40 \text{ (км/ч)}\).

Значит, скорость второго мотоциклиста:

\(1{,}5x = 1{,}5 \cdot 40 = 60 \text{ (км/ч)}\)

Расстояние до встречи - это расстояние, которое первый велосипедист не доехал до пункта В, тогда, учитывая то что расстояние между пунктами А и В равно 120 км, расстояние от места встречи до B равно:

\(120 - 2,4\cdot40 = 120 - 96 =\)

\(=24 \text{ (км)}\).

а) \( 2^n\), \(2^{n+1}\), \(2^{n+2}\) - три последовательных степени числа 2 с натуральными показателями.

\( 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} =\)

\(=2^n\,(1 + 2 + 2^2) = 2^n \cdot 7 =\)

\(=2\cdot7\cdot2^{\,n-1} = 14\cdot 2^{\,n-1} \) - делится на 14.

б) \( 5^n\), \( 5^{n+1} \) - две последовательные степени числа 5 с натуральными показателями.

\( 5^n + 5^{n+1} = 5^n\,(1 + 5) =\)

\(=5^n \cdot 6 = 6\cdot5\cdot5^{\,n-1} = \)

\(=30\cdot5^{\,n-1} \) - делится на 30.

Пояснения:

1. Разложение на множители: для любого числа \(a\) и натурального \(n\) верно \[ a^n + a^{n+1} = a^n(1 + a), \quad a^n + a^{n+1} + a^{n+2} = a^n(1 + a + a^2). \]

2. Свойство натуральных показателей: при \(n\ge1\) множитель \(a^n\) содержит по крайней мере один множитель \(a\), а в случае \(2^n\) — одну двойку.

3. Правило делимости произведения: если один из множителей произведения равен указанному числу, а остальные целые, то всё произведение делится на это число.

В пункте а) после разложения получаем \(14\cdot2^{n-1}\), что даёт делимость на 14.

В пункте б) получаем \(30\cdot5^{n-1}\), что даёт делимость на 30.