Упражнение 693 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пояснения:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить (мы говорим об алгебраической сумме - выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел).

а)\((x-5)(x+8) - (x+4)(x-1) =\)

\(=\bigl(x^2+8x-5x-40\bigr) - \bigl(x^2 - x +4x -4\bigr) =\)

\(=(x^2+3x-40) - (x^2+3x-4) =\)

\(=x^2+3x-40 - x^2 -3x +4 = -3.\)

б) \(x^4 -(x^2 -1)(x^2 +1) =\)

\(=x^4 -(x^4 + x^2 - x^2 -1) =\)

\(=x^4 -(x^4 -1) = x^4 -x^4 +1= 1.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Правило раскрытия произведения двух скобок:

\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.\]

2) Приведение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

3) Умножение степеней:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

4) Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).

Пояснение к пункту а):

– Сначала раскрыли скобки в обоих произведениях:

\((x-5)(x+8)=x^2+3x-40\),

\((x+4)(x-1)=x^2+3x-4\).

– Затем выполнили вычитание второго многочлена из первого, распространяя знак «−» на все его члены.

– После приведения подобных членов \(x^2 - x^2\) и \(3x - 3x\) получилось число \(-40 + 4 = -36\), не зависящее от \(x\).

Пояснение к пункту б):

– Сначала раскрыли скобки в произведении:

\[(x^2 -1)(x^2 +1) =\\= x^4 + x^2 - x^2 -1 =\\= x^4 -1 \]

– Затем выполнили вычитание полученного выражения из \(x^4\), распространяя знак «−» на все его члены.

– Вычли полученное выражение из \(x^4\), отмечая смену знаков перед всеми слагаемыми в нем и привели подобные члены:

– После приведения подобных членов \(x^4 - x^4\) получилось число \(1\), не зависящее от \(x\).