Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1157 учебника 2023-2025 (стр. 229):
Найдите все пары натуральных чисел, которые являются решением уравнения:
а) \(x + y = 11\);
б) \(x y = 18\).
№1157 учебника 2013-2022 (стр. 228):
Является ли решением системы уравнений
\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ a^2 + 8a + b^2 - 8b + 16 = 0 \end{cases} \)
пара чисел:
а) \(a=0,\; b=4\);
б) \(a=0,\; b=-4\);
в) \(a=-4,\; b=0\)?
№1157 учебника 2023-2025 (стр. 229):
Вспомните:
№1157 учебника 2013-2022 (стр. 228):
Вспомните:
№1157 учебника 2023-2025 (стр. 229):
а) \(x + y = 11\)
\(y = 11 - x\)
Если \(x = 1\), то \(y = 11 - 1 = 10\).
Если \(x = 2\), то \(y = 11 - 2 = 9\).
Если \(x = 3\), то \(y = 11 - 3 = 8\).
Если \(x = 4\), то \(y = 11 - 4 = 7\).
Если \(x = 5\), то \(y = 11 - 5 = 6\).
Если \(x = 6\), то \(y = 11 - 6 = 5\).
Если \(x = 7\), то \(y = 11 - 7 = 4\).
Если \(x = 8\), то \(y = 11 - 8 = 3\).
Если \(x = 9\), то \(y = 11 - 9 = 2\).
Если \(x = 10\), то \(y = 11 - 10 = 1\).
Ответ: \((1;10)\), \((2;9)\), \((3;8)\), \((4;7)\), \((5;6)\), \((6;5)\), \((7;4)\), \((8;3)\), \((9;2)\), \((10;1)\).
б) \(x y = 18\)
\(y = \frac{18}{x}\)
Делители \(18\):
\(1,2,3,6,9,18\).
Если \(x=1\), то \(y = \frac{18}{1} = 18\).
Если \(x=2\), то \(y = \frac{18}{2} = 9\).
Если \(x=3\), то \(y = \frac{18}{3} = 6\).
Если \(x=6\), то \(y = \frac{18}{6} = 3\).
Если \(x=9\), то \(y = \frac{18}{9} = 2\).
Если \(x=18\), то \(y = \frac{18}{18} = 1\).
Ответ: \((1;18)\), \((2;9)\), \((3;6)\), \((6;3)\), \((9;2)\), \((18;1)\).
Пояснения:
– Натуральные числа начинаются с 1.
– В пункте а) для каждого натурального \(x\) от 1 до 10 искали \(y=11-x\).
– В пункте б) нашли все натуральные делители 18, затем для каждого \(x\) вычислили \(y=\frac{18}{x}\).
№1157 учебника 2013-2022 (стр. 228):
\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ a^2 + 8a + b^2 - 8b + 16 = 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ (a^2 + b^2) + (8a - 8b) + 16 = 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ 16 + 8(a - b) + 16 = 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ 8(a - b) + 32 = 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ 8(a - b) = -32 / : 8 \end{cases} \)
\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ a - b = -4 \end{cases} \)
а) Если \(a=0,\; b=4\), то
\( \begin{cases} 0^2 + 4^2 = 16,\\ 0 - 4 = -4 \end{cases} \)
\( \begin{cases}16 = 16 - верно,\\ -4 = -4 - верно. \end{cases} \)
Ответ: пара \(a=0,\; b=4\) является решением системы уравнений.
б) \(a=0,\; b=-4\)
\( \begin{cases} 0^2 + (-4)^2 = 16,\\ 0 - (-4) = -4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 16 = 16 - верно,\\ 4 = -4 неверно. \end{cases} \)
Ответ: пара \(a=0,\; b=-4\) не является решением системы уравнений.
в) Если \(a=-4,\; b=0\), то
\( \begin{cases} (-4)^2 + 0^2 = 16,\\ -4 - 0 = -4 \end{cases} \)
\( \begin{cases}16 = 16 - верно,\\ -4 = -4 - верно. \end{cases} \)
Ответ: пара \(a=-4,\; b=0\) является решением системы уравнений.
Пояснения:
– Из первого уравнения выражается сумма квадратов переменных.
– Подстановка этой суммы в второе уравнение позволяет упростить его.
– Подстановка исходных трёх пар в упрощенную систему показывает, что только \((0;4)\) и \((-4;0)\) удовлетворяют обеим уравнениям и являются решениями системы.
Вернуться к содержанию учебника