Упражнение 1014 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (a+8)^2 - 2(a+8)(a-2) + (a-2)^2 =\)

\(=\bigl((a+8) - (a-2)\bigr)^2 =\)

\(=(\cancel{a}+8-\cancel{a}+2)^2=10^2 = 100. \)

б) \( (y-7)^2 - 2(y-7)(y-9) + (y-9)^2 =\)

\(=((y-7)-(y-9))^2 =\)

\(=(\cancel{y}-7 - \cancel{y} + 9)^2 = 2^2 = 4. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Формула квадрата разности:

\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\).

2) Раскрытие скобок:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

Исходное выражение по формуле квадрата разности можно представить как квадрат разности двух выражений:

- пункт а): \((a+8) \) и \((a-2)\).

- пункт б): \((y-7)\) и \((y-9)\).

а) \(x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0\)

\( (x^3 - 2x^2) - (x - 2) =0\)

\(x^2(x - 2) - 1\cdot(x - 2) = 0\)

\((x^2 - 1)(x - 2) =0\)

\((x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0\)

\(x-1 = 0\)

\(x = 1\)

или \(x + 1=0\)

\(x = -1\)

или \(x - 2 = 0\)

\(x = 2\)

Ответ: \(x = 1,\;-1,\;2.\)

б) \(y^3 - y^2 = 16y - 16\)

\( y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0\)

\( (y^3 - y^2) - (16y - 16) = 0\)

\(y^2(y - 1) - 16(y - 1) =0\)

\((y^2 - 16)(y - 1) = 0\)

\((y - 4)(y + 4)(y - 1) = 0 \)

\(y-4=0\)

\(y=4\)

или \(y + 4 = 0\)

\(y = -4\)

или \(y - 1 = 0\)

\(y = 1\)

Ответ: \(y = 4,\;-4,\;1.\)

в) \(2y^3 - y^2 - 32y + 16 = 0\)

\( (2y^3 - 32y) - (y^2 - 16) =0\)

\(2y(y^2 - 16) - 1\cdot(y^2 - 16) =0\)

\((2y - 1)(y^2 - 16) =0\)

\((2y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0 \)

\(2y-1=0\)

\(2y = 1\)

\(y = \tfrac12=0,5\)

или \(y - 4 = 0\)

\(y = 4\)

или \(y + 4 = 0\)

\(y = -4\)

Ответ: \(y = \tfrac12,\;4,\;-4.\)

г) \(4x^3 - 3x^2 = 4x - 3\)

\( 4x^3 - 3x^2 - 4x + 3 = 0 \)

\( (4x^3 - 3x^2) - (4x - 3) =0\)

\(x^2(4x - 3) - 1\cdot(4x - 3) =0\)

\((x^2 - 1)(4x - 3) =0\)

\((x - 1)(x + 1)(4x - 3) = 0. \)

\(x - 1=0\)

\(x = 1\)

или \(x + 1 = 0\)

\(x = -1\)

или \(4x - 3 = 0\)

\(4x = 3\)

\(x = \tfrac34\)

Ответ: \(x = 1,\;-1,\;\tfrac34.\)

Пояснения:

— Группировка: корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поэтому там где необходимо все члены переносим из павой части уравнения в левую, затем в левой части уравнения разбиваем многочлен на две группы так, чтобы в каждой группе был общий множитель.

— Вынесение общего множителя:

\(ax + ay = a(x+y)\).

— После группировки внутри скобок возникает разность или сумма одинаковых выражений, позволяющая вынести очередной множитель.

— Формула разности квадратов:

\a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).\)

— Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x=\frac{b}{a}\).

— Свойство нулевого произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю, что даёт корни уравнения.