Упражнение 1016 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \bigl(a(a+2b)+b^2\bigr)\,\bigl(a(a-2b)+b^2\bigr)\,\bigl((a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2\bigr)= \)

\( =\bigl(a^2 + 2ab + b^2\bigr)\,\bigl(a^2 - 2ab + b^2\bigr)\,\bigl((a^2)^2 - 2a^2b^2 + (b^2)^2 + 4a^2b^2\bigr)= \)

\(= (a+b)^2(a-b)^2((a^2)^2 + 2a^2b^2 + (b^2)^2) =\)

\(= ((a+b)(a-b))^2(a^2 + b^2)^2= \)

\(= (a^2 - b^2)^2(a^2 + b^2)^2 =\)

\(= \bigl((a^2 - b^2)(a^2 + b^2)\bigr)^2 =\)

\(=\bigl((a^2)^2 - (b^2)^2\bigr)^2=(a^4 - b^4)^2= \)

\(= (a^4)^2 - 2a^4b^4 + (b^4)^2 \)

\(= a^8 - 2a^4b^4 + b^8. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Формула квадрата разности:

\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\).

2) Формула квадрата суммы:

\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\).

3) Формула разности квадратов:

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2.\)

4) Свойства степени:

\((ab)^n=a^nb^n;\)

\((a^m)^n = a^{mn}.\)

5) Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

а) \(x^2(x + 2y) - x - 2y =\)

\(=x^2(x + 2y) - 1\cdot(x + 2y) =\)

\(=(x + 2y)(x^2 - 1) = \)

\(=(x + 2y)(x - 1)(x + 1);\)

б) \(x^2(2y - 5) - 8y + 20 =\)

\(=x^2(2y - 5) - 4\cdot(2y - 5) =\)

\(=(2y - 5)(x^2 - 4) =\)

\(=(2y - 5)(x - 2)(x + 2);\)

в) \(a^3 - 5a^2 - 4a + 20 =\)

\(=a^2(a - 5) - 4(a - 5) =\)

\(=(a - 5)(a^2 - 4) =\)

\(=(a - 5)(a - 2)(a + 2);\)

г) \(x^3 - 4x^2 - 9x + 36 =\)

\(=x^2(x - 4) - 9(x - 4) =\)

\(=(x - 4)(x^2 - 9) =\)

\(=(x - 4)(x - 3)(x + 3).\)

Пояснения:

Использованные приёмы:

1. Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

2. Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax + bx = (a + b)x\).

а) В выражении \(x^2(x + 2y) - x - 2y\) заметили общий множитель \((x + 2y)\) в первых двух слагаемых. Вынесли его, получили \(x^2 - 1\), а затем разложили разность квадратов.

б) В первых двух слагаемых

\(x^2(2y - 5)\) и \(-4(2y - 5)\) общий множитель \((2y - 5)\). После вынесения получился множитель \(x^2 - 4\), который раскладывается как разность квадратов.

в) Группировка:

\(a^2(a - 5)\) и \(-4(a - 5)\).

Вынесли общий множитель \((a - 5)\), внутри оказалось \(a^2 - 4\) – разность квадратов.

г) Группировка:

\(x^2(x - 4)\) и \(-9(x - 4)\). Вынесли \((x - 4)\), а \(x^2 - 9\) разложили по формуле разности квадратов.