Упражнение 1019 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 198

а) \( (y+5)(y^2 - 5y + 25) - y(y^2 + 3) =\)

\(=\cancel{y^3} + 125 - \cancel{y^3} - 3y =\)

\(= 125 - 3y. \)

Если \(y = -2\), то:

\( 125 - 3\cdot(-2) = 125 + 6 = 131. \)

б) \( x(x+3)^2 - (x-1)(x^2 + x + 1) =\)

\(=x\bigl(x^2 + 6x + 9\bigr) - (x^3 - 1) =\)

\(=\cancel{x^3} + 6x^2 + 9x - \cancel{x^3} + 1 =\)

\(=6x^2 + 9x + 1. \)

Если \(x = -4\), то:

\( 6\cdot(-4)^2 + 9\cdot(-4) + 1 =\)

\(=6\cdot16 - 36 + 1 = \)

\(=96 - 36 + 1 = 61. \)

в) \( (2p-1)(4p^2 + 2p +1) - p(p-1)(p+1) = \)

\(=(2p)^3 - 1^3 - p(p^2 -1) =\)

\(=8p^3 - 1 - p^3 + p =\)

\(=7p^3 + p - 1\)

Если \(p = 1{,}5\), то:

\(7\cdot1,5^3 + 1,5 - 1 =\)

\(=7\cdot3,375 + 0,5 =\)

\(=23,625+0,5=24,125\)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1) Сумма кубов:

\(\;a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2).\)

2) Разность кубов:

\(\;a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2).\)

3) Квадрат суммы:

\(\;(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

4) Формула разности квадратов:

\(\;(a-b)(a+b) = a^2 - b^2.\)

5) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

Подстановка: после упрощения подставили заданные значения переменных для получения числового результата.

а) \(x^3 + y^3 + 2xy(x+y) = \)

\(=(x+y)\bigl(x^2 - xy + y^2\bigr) + 2xy(x+y) =\)

\(=(x+y)\bigl(x^2 + xy + y^2\bigr)\);

б) \(x^3 - y^3 - 5x(x^2 + xy + y^2) =\)

\(=(x-y)\bigl(x^2 + xy + y^2\bigr) -5x\bigl(x^2 + xy + y^2\bigr)=\)

\(= \bigl(x^2 + xy + y^2\bigr)\,(x - y - 5x) =\)

\(=(-4x - y)\,(x^2 + xy + y^2)\);

\(=-(4x + y)\,(x^2 + xy + y^2)\);

в) \(2b^3 + a(a^2 - 3b^2) =\)

\(=2b^3 + a^3 -3ab^2 =\)

\(=a^3 - b^3 - 3ab^2 + 3b^3 =\)

\(=(a - b)(a^2 + ab + b^2) - 3b^2(a - b)=\)

\(=(a - b)(a^2 + ab + b^2 - 3b^2)=\)

\(=(a - b)(a + ab - 2b^2)\);

г) \(p^3 - 2p^2 + 2p - 1=\)

\(=(p^3 - 1) - (2p^2 - 2p) =\)

\(= (p - 1)(p^2 + p + 1) - 2p(p - 1)=\)

\(=(p-1)(p^2 + p + 1 - 2p =\)

\( = (p-1)\,(p^2 - p + 1)\);

д) \(8b^3 + 6b^2 + 3b + 1=\)

\(=((2b)^3 + 1^3) + (6b^2 + 3b) =\)

\(=(2b + 1) (4b^2 - 2b + 1) + 3b(2b + 1)=\)

\( = (2b + 1)(4b^2 -2b + 1 + 3b) =\)

\(=(2b + 1)(4b^2 + b + 1)\);

е) \(a^3 - 4a^2 + 20a - 125=\)

\(=(a^3 - 125) - (4a^2 - 20a)=\)

\(=(a - 5)(a^2 +5a + 25) - 4a(a - 5) =\)

\(=(a-5)(a^2 + 5a + 25 - 4a) =\)

\(= (a-5)(a^2 + a + 25)\).

Пояснения:

Использованные формулы и приёмы:

1. Сумма кубов:

\(a^3 + b^3 = (a + b)\,(a^2 - ab + b^2).\)

2. Разность кубов:

\(a^3 - b^3 = (a - b)\,(a^2 + ab + b^2).\)

3. Группировка с вынесением общего множителя:

\(ax + bx) = (a + b)x\).

4. Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

а) Сгруппировали первые два слагаемых как \((x^3+y^3)\), применили формулу суммы кубов, затем вынесли общий множитель \((x+y)\).

б) Преобразовали \((x^3 - y^3)\) по формуле разности кубов, получили общий множитель \(\,(x^2+xy+y^2)\), затем вынесли его.

в) Сначала раскрыли скобки, умножив \(a\) на каждый член в скобках, затем, учитывая то, что \( 2b^3=-b^3 + 3b^3\), получаем разность кубов \(a^3 - b^3\), которую раскладываем на множители по формуле, а у двух других членов выносим общий множитель \(3b^2\), далее получаем общий множитель \((a - b)\), который выносим за скобки, а во второй скобке приводим подобные члены и получаем разложение на простые множители.

г) Сначала сгруппировали члены парами \(p^3 - 1\) и \(-2p^2 + 2p\). Первую пару разложили на множители по формуле разности кубов, у второй пары вынесли общий множитель \(-2p\) за скобки, получили общий множитель \((p-1)\), который выносим за скобки, во второй скобке приводим подобные члены и получаем разложение на простые множители.

д) Сначала сгруппировали члены парами

\(8b^3 + 1 = (2b)^3 + 1^3\) и \(6b^2 + 3b\).

Первую пару разложили на множители по формуле суммы кубов, у второй пары вынесли общий множитель \(3b\) за скобки, получили общий множитель \((2b+1)\), который выносим за скобки, во второй скобке приводим подобные члены и получаем разложение на простые множители.

е) Сначала сгруппировали члены парами \(a^3 - 125 = a^3 - 5^3\) и \(-4a^2 + 20a\). Первую пару разложили на множители по формуле разности кубов, у второй пары вынесли общий множитель \(-4a\) за скобки, получили общий множитель \((a-5)\), который выносим за скобки, во второй скобке приводим подобные члены и получаем разложение на простые множители.