Упражнение 992 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( 2\,(x + 2)(x - 2)=(x + 2)^2+(x - 2)^2-16. \)

\(2\bigl(x^2 - 4\bigr)= (x^2 + 4x + 4)+(x^2 - 4x + 4)-16\)

\(2x^2 - 8=x^2 + \cancel{4x} + 4+x^2 - \cancel{4x} + 4-16\)

\( 2x^2 - 8 = 2x^2 - 8\)

\( 2x^2 - 2x^2 = -8 + 8\)

\(0x = 0\) - верно при любом значении \(x\).

Ответ: при любом значении \(x\).

Пояснения:

Ниже приведены основные правила и приёмы, использованные при решении задачи:

1. Понимание фразы «меньше на 16» означает, что разность меньшего выражения и большего равна \(16\). То есть, если «выражение A меньше выражения B на 16», то \(A = B - 16\).

2. Формула произведения суммы и разности двух выражений:

\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. \)

3. Формулы квадрата двучлена:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

При выполнении преобразований получили, что уравнение верно при любом значении переменной \(x\). Значит, удвоенное произведение двучленов \(x + 2\) и \(x - 2\) меньше суммы их квадратов на 16 при любом значении переменной \(x\).

а) \((x+1)(x+2)-(x-3)(x+4)=6\)

\((x^2 + 2x + x + 2) - (x^2 + 4x - 3x - 12) = 6\)

\(\cancel{x^2}+2x+x+2 - \cancel{x^2} - 4x + 3x +12 =6\)

\(2x+14=6\)

\(2x=6-14\)

\(2x=-8\)

\(x=\frac{-8}{2}\)

\(x=-4 \)

Ответ: \(x=-4.\)

б) \( (3x-1)(2x+7)-(x+1)(6x-5)=7\)

\((6x^2+21x-2x-7)-(6x^2-5x+6x-5)=7\)

\(\cancel{6x^2}+21x-2x-7-\cancel{6x^2}+5x-6x+5=7\)

\(18x - 2=7\)

\(18x =7+2\)

\(18x=9\)

\(x=\frac{9}{18}\)

\(x=\frac12\)

\(x=0,5\)

Ответ: \(x=0,5\)

в) \(24 - (3y+1)(4y-5) = (11-6y)(2y-7)\)

\(24 - (12y^2 -15y + 4y -5) = 22y -77 -12y^2 + 42y\)

\(24 -12y^2 + 15y -4y +5 = -12y^2 +64y -77\)

\( \cancel{-12y^2} + 15y -4y + \cancel{12y^2} - 64y = -77 - 24 - 5\)

\(-53y = -106\)

\(y = \frac{-106}{-53}\)

\(y=2\)

Ответ: \(y=2\).

г) \( (6y+2)(5-y) =47 - (2y-3)(3y-1)\)

 \(30y -6y^2 + 10 - 2y = 47 - (6y^2 -2y-9y + 3)\)

 \(28y -6y^2 + 10  = 47 - 6y^2 + 2y + 9y - 3\)

 \(28y - \cancel{6y^2} + \cancel{6y^2} - 2y - 9y = 47 - 3 - 10\)

\(17y =34\)

\(y =\frac{34}{17}\)

\(y=2\)

Ответ: \(y=2\).

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1. Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.\)

2. Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии меняем знаки всех слагаемых из скобок на противоположные.

3. Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

4. Корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую.

5. Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x=\frac{b}{a}\).

Пояснения к каждому заданию:

В пунктах а) и б) сначала раскрыли скобки в обоих произведениях, затем выполнили вычитание одного многочлена из другого, после чего привели подобные члены и решили полученное линейное уравнение.

В пунктах в) и г) слева и справа раскрыли скобки, затем привели подобные слагаемые и решили полученное линейное уравнение.