Упражнение 963 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( a - b + a^2 - b^2 = \)

\(=(a - b) + (a^2 - b^2) = \)

\(=1\cdot(a - b) + (a - b)(a + b) =\)

\(=(a - b)\Bigl(1 + (a + b)\Bigr) =\)

\(=(a - b)(1 + a + b). \)

б) \( c^2 + d - d^2 + c =\)

\(=(c^2 - d^2) + (c + d)= \)

\( = (c - d)(c + d) + 1\cdot(c + d) =\)

\(=(c + d)\Bigl((c - d) + 1\Bigr) =\)

\(=(c + d)(c - d + 1). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Перегруппировка: перестановка и сборка слагаемых для выделения удобных комбинаций (например, разности квадратов).

— Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)\,(a + b). \)

— Вынесение общего множителя: после применения формулы разности квадратов обе части содержали общий множитель, который был вынесен за скобки.

Пояснение к пункту а):

В исходном многочлене

\(a - b + a^2 - b^2\)

выполнили группировку

\((a - b) + (a^2 - b^2)\).

Сначала применили разность квадратов к \(a^2 - b^2\), получив

\((a - b)(a + b)\). Затем заметили, что слагаемое \((a - b)\) можно записать как \(1\cdot(a - b)\). В результате внутри суммы получилось

\(1\cdot(a - b) + (a - b)(a + b) =\)

\(=(a - b)\bigl(1 + (a + b)\bigr)\).

То есть окончательный вид:

\((a - b)(1 + a + b)\).

Пояснение к пункту б):

Выражение \(c^2 + d - d^2 + c\) перегруппировали в

\((c^2 - d^2) + (c + d)\).

Сначала разложили по разности квадратов \(c^2 - d^2 = (c - d)(c + d)\). Оставшуюся часть \((c + d)\) записали как \(1\cdot(c + d)\). В итоге получился множитель \((c + d)\) общий для обоих слагаемых:

\((c - d)(c + d) + 1\cdot(c + d) =\)

\(=(c + d)\bigl((c - d) + 1\bigr)\).

Следовательно, окончательный вид:

\((c + d)(c - d + 1)\).

\( (1 + y)^3 + (1 + y)^4 + (1 + y)^5 =\)

\(=1 + 3y + 3y^2 + y^3 + 1 + 4y + 6y^2 + 4y^3 + y^4 + 1 + 5y + 10y^2 + 10y^3 + 5y^4 + y^5=\)

\( = (1 + 1 + 1) + (3y + 4y + 5y) + (3y^2 + 6y^2 + 10y^2) + (y^3 + 4y^3 + 10y^3) + (y^4 + 5y^4) + y^5=\)

\(= 3 + 12y + 19\,y^2 + 15\,y^3 + 6\,y^4 + y^5. \)

а) коэффициент при \(y^2\) равен \(19\);

б) коэффициент при \(y^3\) равен \(15\).

Пояснения:

Формула куба двучлена:

\( (u + v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3. \)

При записи формулы двучлена

\(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

Значит, коэффициенты двучлена четвертой степени равны:

1; 4; 6; 4; 1.

А двучлена пятой степени:

1; 5; 10; 10; 5; 1.