Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№663 учебника 2023-2025 (стр. 141):
Из пункта А вышла грузовая машина со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из пункта А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую?
№663 учебника 2013-2022 (стр. 143):
(Для работы в парах.) Докажите, что значение выражения:
а) \(16^5 + 16^4\) кратно 17;
б) \(38^9 - 38^8\) кратно 37;
в) \(36^5 - 6^9\) кратно 30;
г) \(5^{18} - 25^8\) кратно 120.
1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто - задания б), г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.
3. Предложите друг другу составить задание, аналогичное заданию б).
№663 учебника 2023-2025 (стр. 141):
Вспомните:
№663 учебника 2013-2022 (стр. 143):
№663 учебника 2023-2025 (стр. 141):
Пусть \(x\) ч - время движения легковой машины.
Тогда \((x+2)\) ч - время движения грузовой машины.
\( 90x \) км - проехала легковая машина.
\(60(x+2)\) км - проехала грузовая машина.
\( 90x = 60(x+2); \)
\( 90x = 60x + 120;\)
\(30x = 120;\)
\(x=\frac{120}{30};\)
\( x = 4\) (ч) - время движения легковой машины.
\( 90x = 90 \cdot 4 = 360\) (км) - искомое расстояние от пункта А.
Ответ: 360 км.
Пояснения:
1) Ввели переменную \(x\) как время в пути легковой машины до встречи.
2) Записали расстояния обоих машин как произведение скорости на время.
3) Составили уравнение равенства пройденных путей и решили его.
4) Получили \(x=4\) ч и вычислили, что искомое расстояние от пункта А равно \(360\) км.
№663 учебника 2013-2022 (стр. 143):
а) \( 16^5 + 16^4 = 16^4\,(16 + 1) = \)
\(=16^4 \cdot 17, \) значит, выражение делится на 17.
б) \( 38^9 - 38^8 = 38^8\,(38 - 1) =\)
\(=38^8 \cdot 37, \) значит, выражение делится на 37.
в) \(36^5 - 6^9 = (6^2)^5 - 6^9 =\)
\(=6^{10} - 6^9 = 6^9\,(6 - 1) =\)
\(=6^9 \cdot 5= 6^8 \cdot 30,\) значит, выражение делится на 30.
г) \( 5^{18} - 25^8 = 5^{18} - (5^2)^8 =\)
\(=5^{18} - 5^{16} = 5^{16}\,(5^2 - 1) =\)
\(=5^{16}\cdot24=5^{15}\cdot120, \) значит, выражение делится на 120.
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) Вынос общего множителя: \[A^n \pm A^m = A^{\min(n,m)}\bigl(A^{|n-m|} \pm 1\bigr).\]
2) Критерий делимости произведения на число: если в разложении произведения на простые множители присутствуют все простые множители этого числа с не меньшими показателями, то число делит произведение.
В подзадачах а) и б) мы просто вынесли общий множитель \(16^4\) и \(38^8\) соответственно и увидели множитель 17 или 37.
В подзадаче в) заметили, что \(36^5=(6^2)^5=6^{10}\), затем вынесли \(6^9\) и получили множитель 5, после чего проверили, что \(6^9\cdot5\) содержит в себе \(2\cdot3\cdot5=30\).
В подзадаче г) переписали \(25^8=(5^2)^8=5^{16}\), вынесли \(5^{16}\), получили множитель 24, а затем проверили, что \(5^{16}\cdot24\) содержит в себе \(2^3\cdot3\cdot5=120\).
Вернуться к содержанию учебника