Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№484 учебника 2013-2022 (стр. 132):
В прямоугольном треугольнике и - катеты, - гипотенуза. Найдите , если:
а) = 12, = 13;
б) = 7, = 9;
в) = 12, = 2;
г) = , = 2;
д) = 3, = .
№484 учебника 2023-2024 (стр. 128):
№484 учебника 2013-2022 (стр. 132):
Вспомните:
№484 учебника 2023-2024 (стр. 128):
Вспомните:
№484 учебника 2013-2022 (стр. 132):
№484 учебника 2023-2024 (стр. 128):
Дано: АВС, MN - средняя линия.
Доказать: MN АВ и MN = АВ.
Доказательство:
1. Отложим на прямой МN отрезок ND = MN.
2. В СМN и BND:
ND = MN, СN = BN (т.к. N - середина ВС), СNM = BND (вертикальные углы), СМN = BND по 1 признаку равенства треугольников, ВD = СМ и NBD = СNМ, ВD = АМ (т.к. М - середина АС и СМ = АМ) и АС ВD (1 признак параллельности), АМDВ - параллелограмм (по признаку параллелограмма), МD АВ и МD = AB, MN АВ и MN = АВ (т.к. по построению ND = MN). Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Чтобы выполнить доказательство делаем дополнительное построение: отложим на прямой МN отрезок ND, равный отрезку МN, т.е. ND = MN.
Теперь рассмотрим треугольники СМN и BND:
1. ND = MN по построению;
2. СN = BN, т.к. по условию MN - средняя линия АВС, значит, N - середина ВС;
3. СNM = BND, так как эти углы вертикальные.
Следовательно, СМN = BND по 1 признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и, наоборот. Значит, ВD = СМ и NBD = СNМ.
ВD = СМ и СМ = АМ, т.к. по условию MN - средняя линия АВС, значит, М - середина АС, следовательно, ВD = АМ.
NBD = СNМ и эти углы накрест лежащие при пересечении прямых АС и ВD секущей ВС, значит, АС ВD по 1 признаку параллельности двух прямых.
Итак, ВD = АМ и АМ ВD (АМ лежит на АС), следовательно, четырехугольник АМDВ - параллелограмм по признаку параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, значит, МD АВ и МD = AB. При этом по построению ND = MN, тогда MN = МD, следовательно, MN = АВ. Что и требовалось доказать.
Вернуться к содержанию учебника