Задание 484 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: АВС, MN - средняя линия.

Доказать: MN АВ и MN = АВ.

Доказательство:

1. Отложим на прямой МN отрезок ND = MN.

2. В СМN и BND:

ND = MN, СN = BN (т.к. N - середина ВС), СNM = BND (вертикальные углы), СМN = BND по 1 признаку равенства треугольников, ВD = СМ и NBD = СNМ, ВD = АМ (т.к. М - середина АС и СМ = АМ) и АС ВD (1 признак параллельности), АМDВ - параллелограмм (по признаку параллелограмма), МD АВ и МD = AB, MN АВ и MN = АВ (т.к. по построению ND = MN). Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Чтобы выполнить доказательство делаем дополнительное построение: отложим на прямой МN отрезок ND, равный отрезку МN, т.е. ND = MN.

Теперь рассмотрим треугольники СМN и BND:

1. ND = MN по построению;

2. СN = BN, т.к. по условию MN - средняя линия АВС, значит, N - середина ВС;

3. СNM = BND, так как эти углы вертикальные.

Следовательно, СМN = BND по 1 признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и, наоборот. Значит, ВD = СМ и NBD = СNМ.

ВD = СМ и СМ = АМ, т.к. по условию MN - средняя линия АВС, значит, М - середина АС, следовательно, ВD = АМ.

NBD = СNМ и эти углы накрест лежащие при пересечении прямых АС и ВD секущей ВС, значит, АС ВD по 1 признаку параллельности двух прямых.

Итак, ВD = АМ и АМ ВD (АМ лежит на АС), следовательно, четырехугольник АМDВ - параллелограмм по признаку параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, значит, МD АВ и МD = AB. При этом по построению ND = MN, тогда MN = МD, следовательно, MN = АВ. Что и требовалось доказать.