Задание 484 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Старая и новая редакции

Вернуться к содержанию учебника

481 482 483 484 485 486 487

Выберите год учебника

Вопрос

№484 учебника 2013-2022 (стр. 132):

В прямоугольном треугольнике и - катеты, - гипотенуза. Найдите , если:

а) = 12, = 13;

б) = 7, = 9;

в) = 12, = 2;

г) = , = 2;

д) = 3, = .


№484 учебника 2023-2024 (стр. 128):

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажите свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Подсказка

№484 учебника 2013-2022 (стр. 132):

Вспомните:

  1. Какой треугольник называется прямоугольным, его элементы.
  2. Теорему Пифагора.

№484 учебника 2023-2024 (стр. 128):

Вспомните:

  1. Что называют треугольником.
  2. Какая точка является серединой отрезка.
  3. Какие прямые называют параллельными.
  4. Признаки параллельности двух прямых.
  5. Первый признак равенства треугольников.
  6. Свойства равных треугольников.
  7. Какой четырехугольник называют параллелограммом.
  8. Признаки параллелограмма.
  9. Какие углы называют вертикальными.

Ответ

№484 учебника 2013-2022 (стр. 132):


№484 учебника 2023-2024 (стр. 128):

Дано: АВС, MN - средняя линия.

Доказать: MN АВ и MN = АВ.

Доказательство:

1. Отложим на прямой МN отрезок ND = MN.

2. В СМN и BND:

ND = MN, СN = BN (т.к. N - середина ВС), СNM = BND (вертикальные углы), СМN = BND по 1 признаку равенства треугольников, ВD = СМ и NBD = СNМ, ВD = АМ (т.к. М - середина АС и СМ = АМ) и АС ВD (1 признак параллельности), АМDВ - параллелограмм (по признаку параллелограмма), МD АВ и МD = AB, MN АВ и MN = АВ (т.к. по построению ND = MN). Что и требовалось доказать.


Пояснения:

Чтобы выполнить доказательство делаем дополнительное построение: отложим на прямой МN отрезок ND, равный отрезку МN, т.е. ND = MN.

Теперь рассмотрим треугольники СМN и BND:

1. ND = MN по построению;

2. СN = BN, т.к. по условию MN - средняя линия АВС, значит, N - середина ВС;

3. СNM = BND, так как эти углы вертикальные.

Следовательно, СМN = BND по 1 признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и, наоборот. Значит, ВD = СМ и NBD = СNМ.

ВD = СМ и СМ = АМ, т.к. по условию MN - средняя линия АВС, значит, М - середина АС, следовательно, ВD = АМ.

NBD = СNМ и эти углы накрест лежащие при пересечении прямых АС и ВD секущей ВС, значит, АС ВD по 1 признаку параллельности двух прямых.

Итак, ВD = АМ и АМ ВD (АМ лежит на АС), следовательно, четырехугольник АМDВ - параллелограмм по признаку параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, значит, МD АВ и МD = AB. При этом по построению ND = MN, тогда MN = МD, следовательно, MN = АВ. Что и требовалось доказать.


Вернуться к содержанию учебника