Задание 489 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: АВСD - трапеция.

Доказать: средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме

Доказательство:

Пусть М - середина АВ, проведем через М прямую МN, параллельную АD и ВС, т.е. МN ВС и МN АD, по теореме Фалеса точки К и N середины отрезков АС и СD, МN - средняя линия трапеции АВСD.

МК - средняя линия АВС,

МК = ВС.

КN - средняя линия АСD,

КN = АD.

МN = МК + КN = ВС + АD =

= (ВС + АD).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Пусть точка М - середина АВ, проведем через М прямую МN, параллельную основаниям трапеции ВС и АD, т.е.

МN ВС и МN АD.

Согласно теореме Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую,то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Значит, точки К и N середины отрезков АС и СD, следовательно, МN - средняя линия трапеции АВСD, а МК и КN - средние линии треугольников АВС и АСD соответственно.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Тогда из того, что МК - средняя линия АВС, получаем МК = ВС, а из того, что КN - средняя линия АСD, получаем КN = АD.

Точка К делит отрезок МN на два отрезка МК и КN, тогда:

МN = МК + КN = ВС + АD =

= (ВС + АD).