Задание 342 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Старая и новая редакции

Вернуться к содержанию учебника

339 340 341 342 343 344 345

Выберите год учебника

Вопрос

№342 учебника 2013-2022 (стр. 93):

Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.


№342 учебника 2023-2024 (стр. 103):

Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Подсказка

№342 учебника 2013-2022 (стр. 93):

Вспомните:

  1. Какой треугольник называется равнобедренным.
  2. Что такое биссектриса треугольника.
  3. Что такое медиана треугольника.
  4. Какие прямые называются параллельными.
  5. Теорему о накрест лежащих углах.
  6. Какие углы называются вертикальными и их свойство.
  7. Второй признак равенства треугольников.

№342 учебника 2023-2024 (стр. 103):

Вспомните:

  1. Что называют окружностью, ее хорды.
  2. Что называют расстоянием от точки до прямой.
  3. Какой треугольник называют равнобедренным.
  4. Третий признак равенства треугольников.

Ответ

№342 учебника 2013-2022 (стр. 93):


№342 учебника 2023-2024 (стр. 103):

Дано: окружность с центром О, АВ и СD - хорды, ОН = ОК.

Доказать: АВ = СD.

Доказательство:

1. Пусть ОН и ОК расстояния от центра окружности точки О до хорд АВ и СD ОН АВ и ОК СD, ОН и ОК - высоты равнобедренных треугольников АОВ и СОD (ОА = ОВ = ОС = ОD - радиусы), ОН и ОК медианы АОВ и СОD, АВ = 2АН и СD = 2СК.

2. В прямоугольных АОН и СОК: ОА = ОС - радиусы, ОН = ОК по условию, АОН = СОК по гипотенузе и катету, АН = СК,    АВ = СD. Что и требовалось доказать.


Пояснения:

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра (т.е. наименьшее расстояние), проведенного из данной точки к данной прямой. Поэтому, учитывая то, что по построению ОН АВ и ОК СD, отрезки ОН и ОК - расстояния от центра окружности до хорд АВ и СD соответственно и по условию ОН = ОК.

Треугольники АОВ и СОD - равнобедренные, так как все радиусы окружности равны, т.е.

ОА = ОВ = ОС = ОD..

ОН АВ и ОК СD, значит, ОН и ОК - высоты равнобедренных треугольников АОВ и СОD. В равнобедренных треугольниках высоты проведенные к основаниям являются и медианами, значит, ОН и ОК медианы треугольников АОВ и СОD. Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, поэтому АН = ВН и СК = КD, тогда

АВ = 2АН и СD = 2СК.

В прямоугольных треугольниках АОН и СОК: ОА = ОС - радиусы, ОН = ОК по условию, значит, АОН = СОК по гипотенузе и катету. В равных треугольниках элементы соответственно равны, тогда АН = СК, а учитывая то, что АВ = 2АН и СD = 2СК, получаем АВ = СD. Что и требовалось доказать.


Вернуться к содержанию учебника