Задание 154 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник. Страница 48

1 случай

ВМ₁ = РQ, ВМ₂ = РQ.

Ответ: 2 решения.

2 случай

ВМ = PQ.

Ответ: 1 решение.

3 случай

Ответ: нет решений.

Пояснения:

Решение данной задачи сводится к тому, что нам нужно построить отрезок ВМ, равный отрезку PQ. Т.е. нам нужно построить окружность радиуса PQ с центром в точке В и найти точку (точки) пересечения данной окружности с прямой $а$. Расстояние от точки В до точки (точек) пересечения окружности с прямой $а$ будет равно PQ (т.к. все точки окружности располагаются от ее центра на одном и том же расстоянии, равном ее радиусу), значит, полученная точка (точки) пересечения и будет являться искомой точкой (точками) М. Возможны три случая решения данной задачи, все зависит от того, как расположены точка В и прямая $а$ друг относительно друга.

1 случай

С помощью линейки строим произвольный отрезок PQ и проводим прямую $а$. Отмечаем точку В, не лежащую на прямой $а$ так, что расстояние от точки В до прямой $а$ меньше длины отрезка PQ.

Далее с помощью циркуля измеряем отрезок PQ и строим часть окружности (смотри выделенное красным) радиуса PQ  с центром в точке В. В данном случае можно не строить всю окружность целиком, так как нам важна только та часть, которая может иметь точки пересечения с прямой $а$.

Получаем две точки пересечения окружности с прямой $а$, обозначим их М₁ и М₂.

Каждая из этих точек будет находится на расстоянии PQ от точки В, так как ВМ₁ и ВМ₂ радиусы данной окружности, а все радиусы окружности равны, т.е. ВМ₁ = РQ, ВМ₂ = РQ, следовательно, задача в данном случае будет иметь два решения.

2 случай

С помощью линейки строим произвольный отрезок PQ и проводим прямую $а$. Отмечаем точку В, не лежащую на прямой $а$ так, что расстояние от точки В до прямой $а$ равно длине отрезка PQ.

Далее с помощью циркуля измеряем отрезок PQ и строим часть окружности (смотри выделенное красным) радиуса PQ  с центром в точке В. В данном случае можно не строить всю окружность целиком, так как нам важна только та часть, которая может иметь точки пересечения с прямой $а$.

Получаем одну точку пересечения окружности с прямой $а$, обозначим ее М.

Точка М будет находится на расстоянии PQ от точки В, так как ВМ радиус, т.е. ВМ = РQ, следовательно, задача в данном случае будет иметь одно решение.

3 случай

С помощью линейки строим произвольный отрезок PQ и проводим прямую $а$. Отмечаем точку В, не лежащую на прямой $а$ так, что расстояние от точки В до прямой $а$ больше длины отрезка PQ.

Далее с помощью циркуля измеряем отрезок PQ и строим часть окружности (смотри выделенное красным) радиуса PQ  с центром в точке В. В данном случае можно не строить всю окружность целиком, так как нам важна только та часть, которая может иметь точки пересечения с прямой $а$.

Получаем то, что точек пересечения окружности с прямой $а$ нет, т.е. в данном случае невозможно построить отрезок ВМ такой, что ВМ = PQ,  учитывая то, что точка М должна лежать на прямой $а$ значит решений нет.