Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач

Доказательство теорем

Рассмотрим хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Отрезки ЕА и ЕВ, а также отрезки ЕС и ЕD называются отрезками пересекающихся хорд АВ и CD соответственно (рис. 1).

            Рис. 1

Теорема

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дано: окружность, АВ и СD - хорды, АВСD = Е (рис. 2).

Доказать: АЕВЕ = СЕ.

Доказательство:

 

               Рис. 2

В АDЕ и СВЕ: 1 = 2, т.к. они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВD (смотри следствие 1 из теоремы о вписанном угле), 3 = 4 как вертикальные углы, следовательно, треугольники АDЕ и СВЕ подобны (по 1 признаку подобия треугольников). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, поэтому , откуда АЕВЕ = СЕ.

Теорема доказана.

Пусть через точку Е, лежащую вне окружности, проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В. Отрезок АВ является хордой окружности. Отрезки ЕА и ЕВ называют отрезками секущей. Если через точку Е проведена касательная ЕK к окружности (K точка касания), то отрезок ЕK называют отрезком касательной (рис. 3).

                    Рис. 3

Теорема

Если через внешнюю точку к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей.

Дано: окружность, ЕК - касательная, К - точка касания, АВ - секущая, АВЕК = Е (рис. 4).

Доказать: ЕК2 = ЕАЕВ.

Доказательство:

                      Рис. 4

В ЕKA и  ЕBK: 1 = 2 , т.к. каждый из них измеряется половиной дуги АK (1 вписанный в окружность и опирающийся на дугу АK, а 2 угол между касательной к окружности и хордой), 3 общий угол этих треугольников, значит, по 1 признаку подобия треугольников  EKAEBK. Отсюда следует, что или EK2 = EA.
Теорема доказана.

Теорема

Если через точку Е, лежащую вне окружности, проведены две секущие, то произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей (рис. 5).

Дано: А1В1 и А2В2 - секущие, А1В1А2В2 = Е.

Доказать: ЕА1ЕВ1 = ЕА2ЕВ2.

Доказательство:

              Рис. 5

В ЕВ1А2 и ЕВ2А1: 1 - общий, 2 = 3, т.к. каждый из них измеряется половиной дуги А1А2 (вписанные углы), значит, по 1 признаку подобия треугольников ЕВ1А2ЕВ2А1. Отсюда следует, что или ЕА1ЕВ1 = ЕА2ЕВ2.

Теорема доказана.


Решение задач

Задача 1

Докажите, что множество середин всех хорд окружности с центром С и радиусом , один конец которых совпадает с данной точкой А этой окружности, есть окружность, построенная на отрезке АС как на диаметре (рис. 6).

               Рис. 6

Решение:

При гомотетии с центром в точке А и коэффициентом = любая точка Х окружности с центром С и радиусом перейдёт в точку Х1 — середину хорды АХ. По 30 свойству гомотетии при указанной  гомотетии окружность с центром С и радиусом переходит в окружность с центром С1  в середине отрезка АС и радиусом  . Эта окружность и является искомым множеством точек.

Задача 2

Даны угол и точка А внутренней области этого угла. Постройте окружность, проходящую через точку А и касающуюся сторон угла.

Решение:

Пусть О вершина угла , А данная точка (рис. 7).

                    Рис. 7

Допустим, что задача решена и F искомая окружность. При гомотетии с центром в точке О и любым коэффициентом окружность F перейдёт в окружность F1, которая, очевидно, будет касаться сторон угла . Точка А перейдёт в одну из точек пересечения луча ОА с окружностью F1: А1 или А2 (на рисунке 7, точка А переходит в точку А1). Ясно, что при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом окружность F1 перейдёт в окружность F. Отсюда вытекает следующий способ решения задачи.

Строим произвольную окружность F1, касающуюся сторон угла , и находим точки А1 и А2 пересечения луча ОА с этой окружностью. Далее строим окружность F, в которую переходит окружность F1 при гомотетии с центром в точке О, переводящей одну из точек А1 или А2 в точку А (см. задачу 1323). Окружность F искомая. Построение выполнено на рисунке 8. На этом рисунке биссектриса угла , C1 — произвольная её точка, C1H1 и ACА1C1.

                     Рис. 8

Задача всегда имеет два решения, так как можно рассматривать две гомотетии: одну, при которой точка А1 переходит в точку А, другую при которой точка А2 переходит в точку А. На рисунке 8 второе решение изображено штриховой линией.

Советуем посмотреть:

Подобные многоугольники

Теоремы о периметрах и площадях подобных фигур

Гомотетия. Свойства гомотетии

Подобие произвольных фигур

Подобие фигур

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1328, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1330, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1333, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1360, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1361, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1365, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1428, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 18, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 19, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 21, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник