Рис. 1
Теорема
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. |
Дано: окружность, АВ и СD - хорды, АВСD = Е (рис. 2).
Доказать: АЕВЕ = СЕDЕ.
Доказательство:
Рис. 2
В АDЕ и СВЕ: 1 = 2, т.к. они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВD (смотри следствие 1 из теоремы о вписанном угле), 3 = 4 как вертикальные углы, следовательно, треугольники АDЕ и СВЕ подобны (по 1 признаку подобия треугольников). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, поэтому , откуда АЕВЕ = СЕDЕ.
Теорема доказана.
Рис. 3
Теорема
Если через внешнюю точку к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей.
|
Дано: окружность, ЕК - касательная, К - точка касания, АВ - секущая, АВЕК = Е (рис. 4).
Доказать: ЕК2 = ЕАЕВ.
Доказательство:
Рис. 4
Теорема
Если через точку Е, лежащую вне окружности, проведены две секущие, то произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей (рис. 5).
|
Дано: А1В1 и А2В2 - секущие, А1В1А2В2 = Е.
Доказать: ЕА1ЕВ1 = ЕА2ЕВ2.
Доказательство:
Рис. 5
В ЕВ1А2 и ЕВ2А1: 1 - общий, 2 = 3, т.к. каждый из них измеряется половиной дуги А1А2 (вписанные углы), значит, по 1 признаку подобия треугольников ЕВ1А2ЕВ2А1. Отсюда следует, что или ЕА1ЕВ1 = ЕА2ЕВ2.
Теорема доказана.
Задача 1
Рис. 6
Решение:
Задача 2
Решение:
Рис. 7
Строим произвольную окружность F1, касающуюся сторон угла , и находим точки А1 и А2 пересечения луча ОА с этой окружностью. Далее строим окружность F, в которую переходит окружность F1 при гомотетии с центром в точке О, переводящей одну из точек А1 или А2 в точку А (см. задачу 1323). Окружность F – искомая. Построение выполнено на рисунке 8. На этом рисунке — биссектриса угла , C1 — произвольная её точка, C1H1 и ACА1C1.
Рис. 8
Задача всегда имеет два решения, так как можно рассматривать две гомотетии: одну, при которой точка А1 переходит в точку А, другую — при которой точка А2 переходит в точку А. На рисунке 8 второе решение изображено штриховой линией.
Теоремы о периметрах и площадях подобных фигур
7 класс
Задание 1328, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1330, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1333, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1360, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1361, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1365, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1428, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 18, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 19, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 21, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник