Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач

Доказательство теорем

            Рис. 1

Теорема

Дано: окружность, АВ и СD - хорды, АВСD = Е (рис. 2).

Доказать: АЕВЕ = СЕDЕ.

Доказательство:

               Рис. 2

В АDЕ и СВЕ: 1 = 2, т.к. они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВD (смотри следствие 1 из теоремы о вписанном угле), 3 = 4 как вертикальные углы, следовательно, треугольники АDЕ и СВЕ подобны (по 1 признаку подобия треугольников). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, поэтому , откуда АЕВЕ = СЕDЕ.

Теорема доказана.

                    Рис. 3

Теорема

Дано: окружность, ЕК - касательная, К - точка касания, АВ - секущая, АВЕК = Е (рис. 4).

Доказать: ЕК² = ЕАЕВ.

Доказательство:

                      Рис. 4

В ЕKA и  ЕBK: 1 = 2 , т.к. каждый из них измеряется половиной дуги АK (1 — вписанный в окружность и опирающийся на дугу АK, а 2 — угол между касательной к окружности и хордой), 3 — общий угол этих треугольников, значит, по 1 признаку подобия треугольников  EKAEBK. Отсюда следует, что или EK² = EAEВ.

Теорема

Дано: А₁В₁ и А₂В₂ - секущие, А₁В₁А₂В₂ = Е.

Доказать: ЕА₁ЕВ₁ = ЕА₂ЕВ₂.

Доказательство:

              Рис. 5

В ЕВ₁А₂ и ЕВ₂А₁: 1 - общий, 2 = 3, т.к. каждый из них измеряется половиной дуги А₁А₂ (вписанные углы), значит, по 1 признаку подобия треугольников ЕВ₁А₂ЕВ₂А₁. Отсюда следует, что или ЕА₁ЕВ₁ = ЕА₂ЕВ₂.

Теорема доказана.

Решение задач

Задача 1

Докажите, что множество середин всех хорд окружности с центром С и радиусом , один конец которых совпадает с данной точкой А этой окружности, есть окружность, построенная на отрезке АС как на диаметре (рис. 6).

               Рис. 6

Решение:

При гомотетии с центром в точке А и коэффициентом = любая точка Х окружности с центром С и радиусом перейдёт в точку Х₁ — середину хорды АХ. По 3⁰ свойству гомотетии при указанной  гомотетии окружность с центром С и радиусом переходит в окружность с центром С₁  в середине отрезка АС и радиусом  . Эта окружность и является искомым множеством точек.

Задача 2

Даны угол и точка А внутренней области этого угла. Постройте окружность, проходящую через точку А и касающуюся сторон угла.

Решение:

Пусть О — вершина угла , А — данная точка (рис. 7).

                    Рис. 7

Допустим, что задача решена и F — искомая окружность. При гомотетии с центром в точке О и любым коэффициентом окружность F перейдёт в окружность F₁, которая, очевидно, будет касаться сторон угла . Точка А перейдёт в одну из точек пересечения луча ОА с окружностью F₁: А₁ или А₂ (на рисунке 7, точка А переходит в точку А₁). Ясно, что при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом окружность F₁ перейдёт в окружность F. Отсюда вытекает следующий способ решения задачи.

Строим произвольную окружность F₁, касающуюся сторон угла , и находим точки А₁ и А₂ пересечения луча ОА с этой окружностью. Далее строим окружность F, в которую переходит окружность F₁ при гомотетии с центром в точке О, переводящей одну из точек А₁ или А₂ в точку А (см. задачу 1323). Окружность F – искомая. Построение выполнено на рисунке 8. На этом рисунке — биссектриса угла , C₁ — произвольная её точка, C₁H₁ и ACА₁C₁.

                     Рис. 8

Задача всегда имеет два решения, так как можно рассматривать две гомотетии: одну, при которой точка А₁ переходит в точку А, другую — при которой точка А₂ переходит в точку А. На рисунке 8 второе решение изображено штриховой линией.