Гомотетия. Свойства гомотетии

На плоскости отметим точку О и возьмем любое число , отличное от нуля. Каждой точке Е плоскости, отличной от точки О, поставим в соответствие точку Е₁ по следующему правилу:

1) точка Е₁ лежит на луче ОЕ, если (рис. 1, ), и точка Е₁ лежит на продолжении луча ОЕ, если (рис. 1, б);

                     Рис. 1

2) ОМ₁ = ОМ.

Точка О соответствует сама себе.

Обратите внимание, указанное правило можно коротко записать с помощью векторов в следующем виде: , т.к. произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор , длина которого равна  , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

При заданном соответствии каждая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой единственной точке.

Рассматриваемое соответствие определяет преобразование плоскости, которое называется гомотетией или центральным подобием. Число называется коэффициентом гомотетии, а точка О - центром гомотетии. Центр гомотетии является неподвижной точкой.

Соответственные при гомотетии фигуры F₁ и F называют гомотетичными.

На рисунке 2, , б изображены гомотетичные фигуры F₁ и F с центром гомотетии в точке О и коэффициентом = 3.

                         Рис. 2

На рисунке 3, , б изображены гомотетичные фигуры F₁ и F с центром гомотетии в точке О и коэффициентом .

                                       Рис. 3

Если коэффициент гомотетии равен единице, то все точки плоскости, а значит, и любой фигуры F остаются неподвижными, т. е. фигура переходит сама в себя. Если = –1, то каждая точка фигуры F переходит в симметричную ей точку относительно центра О, поэтому фигура F₁ получается центральной симметрией из фигуры F (рис. 4). Другими словами, центральная симметрия является частным случаем гомотетии (когда коэффициент гомотетии равен –1).

                     Рис. 4

Свойства гомотетии

1⁰. При гомотетии с коэффициентом, отличным от единицы, прямая, проходящая через центр гомотетии, переходит в себя, а прямая, не проходящая через центр гомотетии, — в параллельную ей прямую (рис.5, , б).

                      Рис. 5

2⁰. Если при гомотетии с коэффициентом концы отрезка АВ переходят в точки А₁ и В₁, то отрезок АВ переходит в отрезок А₁В₁, причём А₁В₁ = AB (рис. 6).

                 Рис. 6

3⁰. При гомотетии с коэффициентом окружность с центром С и радиусом переходит в окружность с центром С₁ и радиусом , где С₁ — точка, в которую переходит точка С.

Теорема

При гомотетии с коэффициентом многоугольник переходит в подобный ему многоугольник, причём коэффициент подобия многоугольников равен .

Доказательство:

Рассмотрим произвольный многоугольник А₁А₂...А_n. Из свойства 2⁰ следует то, что при гомотетии с коэффициентом многоугольник А₁А₂...А_n переходит в многоугольник В₁В₂...В_n, при этом В₁В₂ = А₁А₂, В₂В₃ = А₂А₃, ..., В_nВ₁ = А_nА₁ (рис. 7 для случая, когда = 5).

                            Рис. 7

При гомотетии угол переходит в равный ему угол, тогда А₁ = В₁, А₂ = В₂, ..., А_n = В_n.

Из полученных равенств можно сделать вывод о том, что В₁В₂...В_n А₁А₂...А_n.

Теорема доказана.