Подобные многоугольники

При дальнейших рассуждениях мы будем говорить о многоугольниках, и под термином "многоугольник" будем понимать только выпуклый многоугольник.

Одноимённые многоугольники - это многоугольники, которые имеют одинаковое число углов, а, значит, и сторон.

Пусть А₁А₂...А_n и В₁В₂...В_n - два одноименных выпуклых многоугольника, причем углы одного многоугольника соответственно равны углам другого: В₁ = А₁, В₂ = А₂, ..., В_n = A_n. В данном случае стороны В₁В₁ и А₁А₂, В₂В₃ и А₂А₃ и т.д. называют сходственными сторонами. На рисунке 1 изображены два четырехугольника А₁А₂А₃А₄ и В₁В₂В₃В₄, причем В₁ = А₁, В₂ = А₂, В₃ = А₃, В₄ = A₄. Сходственными являются стороны В₁В₁ и А₁А₂, В₂В₃ и А₂А₃, В₃В₄ и А₃А₄, В₄В₁ и А₄А₁.

                   Рис. 1

Нам известно, что отношением отрезков АВ и А₁В₁ называется отношение их длин, т.е. . Отрезки А₁В₁ и С₁D₁ пропорциональны отрезкам АВ и СD, если . При этом, если , то будем писать .

 Число  , равное отношению сходственных сторон многоугольников F₁ и F, называется коэффициентом подобия многоугольника F₁ относительно многоугольника F или, коротко, коэффициентом подобия многоугольников F₁ и F. При этом  , так как отношение длин отрезков — положительное число.

Если многоугольник F₁ подобен многоугольнику F, то пишут: F₁ F или F₁ F, где - коэффициент подобия F₁ относительно F. Ясно, что если F₁ F с коэффициентом , то F F₁ с коэффициентом (так как коэффициент подобия показывает во сколько раз стороны одного многоугольника больше или меньше сторон другого).

На рисунке 1 В₁В₂В₃В₄ А₁А₂А₃А₄, где .

Подобие треугольников является частным случаем подобия многоугольников.

Если два многоугольника равны, то их углы соответственно равны и сходственные стороны равны. Значит, два равных многоугольника подобны с коэффициентом  = 1. Справедливо и обратное утверждение: 

                 Рис. 2

Обратите внимание, нам известно, что два треугольника подобны, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого, или если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого. Для произвольных многоугольников аналогичные свойства не верны. Например, прямоугольник и квадрат, изображённые на рисунке 3, , не подобны, хотя углы их соответственно равны; квадрат и ромб, изображённые на рисунке 3, б, также не являются подобными, хотя и имеют пропорциональные стороны.

                                Рис. 3