Наложения и движения

Мы знаем, что фигура Ф равна фигуре Ф1, если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф1. Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф1 мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф1. При этом любая точка плоскости отображается в определенную точку плоскости, значит, наложение - это отображение плоскости на себя. Наложения - это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (аксиомы о наложении и равенстве фигур).

Утверждение:

При наложении различные точки отображаются в различные точки.

Доказательство:

Предположим, что при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф1, которая состоит из точек А и В, равна фигуре Ф2, состоящей из одной точки С. Отсюда следует, что Ф2=Ф1 (т.к. согласно аксиоме, если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф), т.е. при некотором наложении фигура Ф2 отображается в фигуру Ф1. Но это не возможно так как наложение - это отображение, а при любом отображении точке С ставится только одна точка плоскости. Значит, наше предположение неверно и две точки А и В не могут отображаться в одну и ту же точку.

Из этого утверждения мы можем сделать вывод, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки А1 и В1. Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А1В1 (т.к. согласно аксиоме, если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки), и, следовательно, АВ=А1В1. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, которое сохраняет расстояния, то есть любое наложение является движением плоскости.

Теорема

Любое движение является наложением.

Доказательство

Дано: движение , АВС отображается в А1В1С1, АВС=А1В1С1

Доказать: движение - наложение

Доказательство:

Так как АВС=А1В1С1 , то по определению существует наложение , при котором точки А, В и С отображаются в точки А1, В1 и С1 соответственно. Докажем, что совпадает с .

Предположим обратное. Тогда найдется хотя бы одна точка М, которая при движении отображается в точку М1, а при наложении отображается в другую точку М2. При отображениях и сохраняются расстояния, поэтому ВМ=В1М1, ВМ=В1М2, отсюда В1М1=В2М2, то есть точка В1 равноудалена от точек М1 и М2.

Аналогично можно  доказать, что точки А1 и С1 равноудалены от точек М1 и М2. Следовательно, точки А1, В1, и С1 лежат на серединном перпендикуляре к отрезку М1М2, но это не возможно, так как вершины А1В1С1 не лежат на одной прямой. Значит, наше предположение неверно и отображение совпадает с , другими словами, движение является наложением. Теорема доказана.

Следствие

При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Отображение плоскости на себя

Понятие движения

Параллельный перенос

Поворот

Движения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1154, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1157, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 10, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 11, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 12, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 13, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1293, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник