Взаимное расположение двух окружностей

Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов , и расстояния между их центрами . Пусть .

Если центры окружностей совпадают, т.е. = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса лежит внутри круга радиуса :

Пусть 0. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка совпала с центром окружности радиуса , а точка ₁ с координатами   являлась центром второй окружности. Тогда в данной системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид:

, . (1)

Если система уравнений (1) имеет решением пару чисел = , = , то точка - общая точка данных окружностей, и обратно: если точка - общая точка данных окружностей, то пара чисел = , = является решением системы уравнений (1):

Пусть система (1) имеет решением пару чисел = , = , т.е. справедливы числовые равенства

, .  (2)

Вычтем второе равенство из первого, получим равенство . Выражаем из данного равенства :

. (3)

Так как и 0, то 0. В то же время из первого равенства (2) следует, что , т.е. для величин , и должно выполняться неравенство или . Последнее неравенство запишем в виде . Следовательно,   или

. (4)

Отметим, что = , если = - или = + , и , если .

Итак, если система уравнений (1) имеет решение, то величина удовлетворяет неравенствам (4). Поэтому, если не выполнено какое-то из неравенств (4), то система (1) не имеет решений и данные окружности не имеют общих точек. Так может быть в двух случаях:

     1. - , т.е. +  :

В этом случае окружность радиуса лежит внутри круга радиуса . Говорят также, что одна окружность лежит внутри другой.

     2. + :

В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.

Если неравенства (4) выполнены, то возможны три случая:

     3. = - , при этом из того что 0 следует, что . Выше мы говорили, что =, поэтому из первого из равенств (2) следует, что =0. Подставив пару чисел = , =0 в систему равенств (4), мы получим, что данные числа являются ее решением. Значит, в данном случае окружности имеют ровно одну общую точку:

Говорят, что окружности касаются изнутри.

     4. = + . В данном случае также =, поэтому =0. Подставив пару чисел = , =0 в систему равенств (4), мы получим, что данные числа являются ее решением. В данном случае, как и в случае 3, окружности имеют одну общую точку, но расположены друг относительно друга иначе:

Говорят, что окружности касаются извне.

     5. . Выше мы говорили, что число , которое определяется равенством (3), удовлетворяет неравенству , поэтому из первого равенства (2) получаем два значения :   и . То есть в данном случае система (1) имеет два решения: = , и = , :

Следовательно, окружности пересекаются в двух точках.

Итак, если расстояние между центрами двух окружностей отлично от нуля, то возможны пять случаев, описанных выше, взаимного расположения двух окружностей.