Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов , и расстояния между их центрами . Пусть .
Если центры окружностей совпадают, т.е. = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса лежит внутри круга радиуса :
Пусть 0. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка совпала с центром окружности радиуса , а точка 1 с координатами являлась центром второй окружности. Тогда в данной системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид:
, . (1)
Если система уравнений (1) имеет решением пару чисел = , = , то точка - общая точка данных окружностей, и обратно: если точка - общая точка данных окружностей, то пара чисел = , = является решением системы уравнений (1):
Пусть система (1) имеет решением пару чисел = , = , т.е. справедливы числовые равенства
, . (2)
Вычтем второе равенство из первого, получим равенство . Выражаем из данного равенства :
. (3)
Так как и 0, то 0. В то же время из первого равенства (2) следует, что , т.е. для величин , и должно выполняться неравенство или . Последнее неравенство запишем в виде . Следовательно, или
. (4)
Отметим, что = , если = - или = + , и , если .
Итак, если система уравнений (1) имеет решение, то величина удовлетворяет неравенствам (4). Поэтому, если не выполнено какое-то из неравенств (4), то система (1) не имеет решений и данные окружности не имеют общих точек. Так может быть в двух случаях:
1. - , т.е. + :
В этом случае окружность радиуса лежит внутри круга радиуса . Говорят также, что одна окружность лежит внутри другой.
2. + :
В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.
Если неравенства (4) выполнены, то возможны три случая:
3. = - , при этом из того что 0 следует, что . Выше мы говорили, что =, поэтому из первого из равенств (2) следует, что =0. Подставив пару чисел = , =0 в систему равенств (4), мы получим, что данные числа являются ее решением. Значит, в данном случае окружности имеют ровно одну общую точку:
Говорят, что окружности касаются изнутри.
4. = + . В данном случае также =, поэтому =0. Подставив пару чисел = , =0 в систему равенств (4), мы получим, что данные числа являются ее решением. В данном случае, как и в случае 3, окружности имеют одну общую точку, но расположены друг относительно друга иначе:
Говорят, что окружности касаются извне.
5. . Выше мы говорили, что число , которое определяется равенством (3), удовлетворяет неравенству , поэтому из первого равенства (2) получаем два значения : и . То есть в данном случае система (1) имеет два решения: = , и = , :
Следовательно, окружности пересекаются в двух точках.
Итак, если расстояние между центрами двух окружностей отлично от нуля, то возможны пять случаев, описанных выше, взаимного расположения двух окружностей.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Связь между координатами вектора его начала и конца
Простейшие задачи в координатах
7 класс
Задание 1290, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник