Упражнение 891 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x^2+y^2 \leq 4, \\ |x| \geq 1 \end {cases}\)

\(\begin{cases} x^2+y^2 \leq 4, \\ x \geq 1, \\ x \leq 1 \end {cases}\)

б) \(\begin{cases} x^2+y^2 \leq 9, \\ |y| \geq 2. \end {cases}\)

\(\begin{cases} x^2+y^2 \leq 9, \\ y \geq 2, \\ y \leq 2 \end {cases}\)

Пояснения:

В системе нужно найти пересечение множеств, задаваемых каждым неравенством. Это значит, что точка должна одновременно удовлетворять обоим условиям.

Полезные правила:

\[ |x|\geq a \iff x\leq -a \ \text{или}\ x\geq a, \]

\[ |y|\geq a \iff y\leq -a \ \text{или}\ y\geq a. \]

Также неравенство

\[ x^2+y^2\leq R^2 \]

задаёт круг радиуса \(R\) с центром в начале координат вместе с границей.

В пункте а) неравенство

\[ x^2+y^2\leq 4 \]

задаёт круг радиуса \(2\).

Неравенство \( |x|\geq 1 \) означает, что абсцисса точки не меньше \(1\) по модулю, то есть точка должна лежать либо правее прямой \(x=1\), либо левее прямой \(x=-1\).

Поэтому нужно взять только те точки круга, которые находятся в областях \( x\geq 1 \) или \( x\leq -1. \)

Получаются две симметричные боковые части круга. Прямые \(x=1\), \(x=-1\) и окружность \( x^2+y^2=4 \) входят в ответ, потому что знаки неравенств нестрогие.

В пункте б) неравенство

\[ x^2+y^2\leq 9 \]

задаёт круг радиуса \(3\).

Условие \( |y|\geq 2 \) означает, что ордината точки должна удовлетворять одному из двух неравенств: \( y\geq 2 \) или \( y\leq -2. \)

Значит, внутри круга нужно оставить только точки, лежащие выше прямой \(y=2\) и ниже прямой \(y=-2\). Получаются две части: верхняя и нижняя. Границы тоже входят в ответ, так как неравенства нестрогие.

\(x_n=x_1 q^{n-1}\)

\(x_2=x_1 q\)

\(x_1=\dfrac{x_2}{q}={-32}:{\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)}=64\)

\(S_n=\dfrac{x_1(q^n-1)}{q-1}\)

\(\small S_{10}=\dfrac{x_1(q^{10}-1)}{q-1}=\dfrac{64\bigl(\bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^{10}-1\bigr)}{-\frac{1}{2}-1}=\)

\(\small =\dfrac{64\biggl(\dfrac{1}{1024}-1\biggr)}{-1\frac{1}{2}}=\dfrac{64\biggl(-\dfrac{1023}{1024}\biggr)}{-\frac{3}{2}}=\)

\(=\frac{1023}{16}\cdot\frac{2}{3}=\frac{341}{8}=42\frac{5}{8}.\)

Ответ: \(S_{10}=42\frac{5}{8}.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Чтобы найти первый член прогрессии, нужно выразить \(b_1\) из этой формулы:

\( b_1 = \dfrac{b_n}{q^{\,n-1}}. \)

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)