Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№888 учебника 2023-2026 (стр. 213):
Докажите, что не существует натурального числа, которое от перестановки первой цифры в конец числа увеличилось бы в \(5\) раз.
№888 учебника 2014-2022 (стр. 223):
Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_2=-6,\ a_3=-2.\)
№888 учебника 2023-2026 (стр. 213):
Вспомните:
№888 учебника 2014-2022 (стр. 223):
№888 учебника 2023-2026 (стр. 213):
Пусть число имеет вид
\[ x = a\cdot 10^n + b, \]
где \(a\) — первая цифра (\(1 \le a \le 9\)),
\(b\) — оставшаяся часть числа
(\(0 \le b < 10^n\)).
После переноса первой цифры в конец получаем число:
\[ y = 10b + a. \]
По условию:
\[ 10b + a = 5(a\cdot 10^n + b) \]
\[ 10b + a = 5a\cdot 10^n + 5b \]
\[ 10b - 5b = 5a\cdot 10^n - a \]
\[ 5b = a(5\cdot 10^n - 1) \]
\[ b = \frac{a(5\cdot 10^n - 1)}{5} \]
\[ b = a\cdot 10^n - \frac{a}{5} \]
Так как \(b\) — целое число, то \(\frac{a}{5}\) — целое число.
\[ a=5 \]
Подставим:
\[ b = 5\cdot 10^n - 1 \]
Но по условию:
\[ b < 10^n \]
\[ 5\cdot 10^n - 1 < 10^n \]
\[ 4\cdot 10^n < 1 \]
Противоречие.
Следовательно, такого числа не существует.
Пояснения:
Обозначим число в виде десятичной записи. Пусть первая цифра равна \(a\), а остальные цифры образуют число \(b\). Тогда исходное число можно записать как:
\[ x = a\cdot 10^n + b, \]
где \(n\) — количество цифр в числе \(b\).
Если перенести первую цифру в конец, то каждая цифра сдвигается влево, а \(a\) оказывается в конце. Новое число будет:
\[ y = 10b + a. \]
По условию задачи новое число в 5 раз больше исходного:
\[ 10b + a = 5x = 5(a\cdot 10^n + b). \]
Далее раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
\[ 10b + a = 5a\cdot 10^n + 5b. \]
Переносим одинаковые члены:
\[ 10b - 5b = 5a\cdot 10^n - a, \]
\[ 5b = a(5\cdot 10^n - 1). \]
Отсюда выражаем \(b\):
\[ b = \frac{a(5\cdot 10^n - 1)}{5}. \]
Так как \(b\) — целое число, выражение должно делиться на \(5\). Заметим, что число \(5\cdot 10^n - 1\) при делении на \(5\) даёт остаток \(4\), поэтому оно не делится на \(5\).
Значит, делимость возможна только за счёт \(a\), то есть \(a\) должно делиться на \(5\). Среди цифр это возможно только при
\[ a=5. \]
Подставляем обратно:
\[ b = 5\cdot 10^n - 1. \]
Но по построению \(b\) — это число из \(n\) цифр, значит
\[ b < 10^n. \]
Получаем неравенство:
\[ 5\cdot 10^n - 1 < 10^n, \]
что равносильно
\[ 4\cdot 10^n < 1. \]
Это невозможно при любом натуральном \(n\), так как левая часть всегда больше нуля и даже больше 1.
Получено противоречие, значит исходного числа не существует.
№888 учебника 2014-2022 (стр. 223):
\((a_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(a_2=-6,\ a_3=-2.\)
\(d=a_3-a_2=-2-(-6)=4\)
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_2=a_1+d\)
\(a_1=a_2-d=-6-4=-10\)
\(a_{15}=a_1+14d=-10+14\cdot4=46.\)
Ответ: \(a_{15}=46.\)
Пояснения:
Используемые формулы:
1) Разность арифметической прогрессии:
\[d=a_{n+1}-a_n.\]
2) Формула \(n\)-го члена:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
Вернуться к содержанию учебника