Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№877 учебника 2023-2026 (стр. 212):
Докажите, что если \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\), то \(x=y=z\).
№877 учебника 2014-2022 (стр. 221):
а) Телевизор стоил 10000 р. В апреле он подорожал на 30%, а в декабре подешевел на 40%. Сколько стал стоить телевизор в декабре?
б) Цену товара повысили на 30%, а через некоторое время снизили на 40%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?
№877 учебника 2023-2026 (стр. 212):
№877 учебника 2014-2022 (стр. 221):
№877 учебника 2023-2026 (стр. 212):
Доказать, что если \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\), то \(x=y=z\).
\(\small x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\) \(|\times2\)
\(\small 2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2zx\)
\(\small 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\small (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xy+x^2)=0\)
\(\small (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0 \)
Так как квадрат любого числа неотрицателен, то
\(\small (x-y)^2\geq 0,\; (y-z)^2\geq 0,\; (z-x)^2\geq 0\)
Сумма трёх неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю.
Следовательно,
\( \begin{cases} (x-y)^2=0, \\(y-z)^2=0, \\ (z-x)^2=0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x-y=0, \\y-z=0, \\ z-x=0 \end{cases} \)
\( \begin{cases}x=y, \\y=z, \\ z=x \end{cases} \)
Следовательно,
\( x=y=z,\) что и требовалось доказать.
Пояснения:
В этой задаче используется важный приём: нужно преобразовать данное равенство так, чтобы получить сумму квадратов.
Основные правила, которые здесь применяются:
\( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \)
Также используется свойство квадрата числа:
\( a^2\geq 0 \)
для любого числа \(a\).
Это свойство очень важно: квадрат не может быть отрицательным. Поэтому если сумма нескольких квадратов равна нулю, то каждый квадрат обязан быть равен нулю.
Получаем:
\( x-y=0,\qquad y-z=0,\qquad z-x=0, \)
а значит, все три числа равны между собой.
Из этого следует:
\( x=y,\; y=z,\; z=x. \)
Следовательно, все три числа равны:
\( x=y=z. \)
Главная идея задачи состоит в том, что условие надо не пытаться решать напрямую, а свести к сумме квадратов разностей. Это очень распространённый и полезный приём в задачах на доказательство равенства нескольких чисел.
№877 учебника 2014-2022 (стр. 221):
а) 1) \(30\% = 30:100 = 0,3 \)
\(10000\cdot0{,}3=3000\) (р.) - сумма, на которую подорожал телевизор.
2) \(10000+3000=13000\) (р.) - стоимость телевизора в декабре.
3) \(40\% =40:100=0,4\)
\(13000\cdot0,4=5200\) (р.) - сумма, на которую подорожал телевизор.
4) \(13000-5200=7800\) (р.) - стоимость телевизора в декабре.
Ответ: \(7800\) рублей.
б) Пусть первоначальная цена была \(x\) р.
1) \(30\%=30:100=0,3\)
\(0,3x\) (р.) - сумма повышения цены.
2) \(x+0,3x=1,3x\) (р.) - цена товара после повышения.
3) \(40\%=40:100=0,4\)
\(0,4\cdot1,3x=0,52x\) (р.) - сумма понижения цены.
4) \(1,3x-0,52x=0,78x\) (р.) - итоговая цена, т.е. итоговая цена составляет \(78\%\) от первоначальной.
5) \(100\%-78\%=22\%\)
Ответ: первоначальная цена изменилась на \(22\%.\)
Пояснения:
Процентом от некоторой величины называется одна сотая ее часть и обозначают один процент так: 1%. Величина, от которой вычисляются проценты составляет 100 своих сотых долей, т.е. 100 %.
Чтобы найти, процент от числа, надо преобразовать проценты в десятичную дробь, для этого нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100, затем умножить полученную дробь на данное число.
Вернуться к содержанию учебника