Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№669 учебника 2023-2026 (стр. 186):
Последовательность \((x_n)\) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:
а) \(x_1+1;\ x_2+1;\ \dots;\ x_n+1;\ \dots\);
б) \(3x_1;\ 3x_2;\ \dots;\ 3x_n;\ \dots\);
в) \(x_1^2;\ x_2^2;\ \dots;\ x_n^2;\ \dots\);
г) \(\dfrac{1}{x_1};\ \dfrac{1}{x_2};\ \dots;\ \dfrac{1}{x_n};\ \dots\)?
№669 учебника 2014-2022 (стр. 175):
Пусть \((u_n)\) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. \(u_1=1\), \(u_2=1\), \(u_{n+2}=u_n+u_{n+1}\) при \(n\ge 2\). Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:
а) \(u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n-1}=u_{2n}\);
б) \(u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots+u_n^2=u_n\cdot u_{n+1}\).
№669 учебника 2023-2026 (стр. 186):
Вспомните:
№669 учебника 2014-2022 (стр. 175):
Вспомните:
№669 учебника 2023-2026 (стр. 186):
а) \(x_1+1;\ x_2+1;\ \dots;\ x_n+1;\ \dots\)
\((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
\[x_{n+1}=x_n\cdot q\]
\(\dfrac{x_{n+1}+1}{x_n+1}=\dfrac{x_n q+1}{x_n+1}\) - зависит от \(n\), поэтому последовательность не является геометрической.
Ответ: не является геометрической прогрессией.
б) \(3x_1;\ 3x_2;\ \dots;\ 3x_n;\ \dots\)
\((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
\[x_{n+1}=x_n\cdot q\]
\(\dfrac{3x_{n+1}}{3x_n}=\dfrac{\cancel{3x_n} \cdot q}{\cancel{3x_n}}=q\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.
Ответ: является геометрической прогрессией.
в) \(x_1^2;\ x_2^2;\ \dots;\ x_n^2;\ \dots\)
\((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
\[x_{n+1}=x_n\cdot q\]
\(\dfrac{x_{n+1}^2}{x_n^2}=\left(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right)^2=\left(\dfrac{\cancel{x_n}\cdot q}{\cancel{x_n}}\right)^2=q^2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.
Ответ: является геометрической прогрессией.
г) \(\dfrac{1}{x_1};\ \dfrac{1}{x_2};\ \dots;\ \dfrac{1}{x_n};\ \dots\)
\((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
\[x_{n+1}=x_n\cdot q\]
\(\dfrac{\frac{1}{x_{n+1}}}{\frac{1}{x_n}}=\frac{1}{x_{n+1}}\cdot x_n=\dfrac{x_n}{x_{n+1}}=\)
\(=\dfrac{\cancel{x_n}}{\cancel{x_n}\cdot q}=\dfrac{1}{q}\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.
Ответ: является геометрической прогрессией.
Пояснения:
Используемые правила и определения:
1) Последовательность является геометрической прогрессией, если отношение соседних членов постоянно, то есть равно какому-нибудь числу:
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\text{const}.\]
2) Если каждый член геометрической прогрессии умножить на одно и то же ненулевое число, получится геометрическая прогрессия с тем же знаменателем.
3) При возведении членов геометрической прогрессии в квадрат знаменатель также возводится в квадрат.
4) Последовательность обратных чисел к членам геометрической прогрессии (при \(x_n\ne0\)) также является геометрической.
№669 учебника 2014-2022 (стр. 175):
\((u_n)\) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. \(u_1=1\), \(u_2=1\), \(u_{n+2}=u_n+u_{n+1}\) при \(n\ge 2\).
Доказать:
а) \(u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n-1}=u_{2n}\);
б) \(u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots+u_n^2=u_n\cdot u_{n+1}\).
Доказательство:
а) 1) При \(n=1\):
\(u_1 = u_{2\cdot1}=u_2 = 1\) - верно.
2) Пусть при \(n = k\) верно то, что:
\[u_1+u_3+\dots+u_{2k-1}=u_{2k}.\]
При \(n = k+1\):
\(u_1+u_3+\dots+u_{2k-1}+u_{2(k + 1)-1}=u_{2k}+u_{2(k + 1)-1}=\)
\(=u_{2k}+u_{2k + 2-1}=\)
\(=u_{2k}+u_{2k + 1}=u_{2k + 2}=u_{2(k + 1)}\).
Свойство верно при \(n = k + 1\), значит, последовательность обладает этим свойством при любом натуральном \(n\).
б) 1) При \(n=1\):
\[u_1^2=u_1\cdot u_{1+1}\]
\[u_1^2=u_1\cdot u_{2}\]
\[1^2=1\cdot 1.\]
\(1 = 1\) - верно.
2) Пусть при \(n = k\) верно то, что:
\[u_1^2+u_2^2+\dots+u_k^2=u_k\cdot u_{k+1}.\]
При \(n = k+1\):
\(u_1^2+u_2^2+\dots+u_k^2+u_{k+1}^2=\)
\(=u_k\cdot u_{k+1}+u_{k+1}^2=\)
\[=u_{k+1}(u_k+u_{k+1})=\]
\[=u_{k+1}\cdot u_{k+2}.\]
Свойство верно при \(n = k + 1\), значит, последовательность обладает этим свойством при любом натуральном \(n\).
Пояснения:
Математическая индукция:
Чтобы доказать утверждение для всех \(n\in\mathbb{N}\), нужно:
а) доказать (или проверить) его при \(n=1\);
б) предположить верность при \(n=k\) и доказать при \(n=k+1\).
Вернуться к содержанию учебника