Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№578 учебника 2023-2026 (стр. 165):
Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии \((c_n)\), если \(c_7=18{,}5\) и \(c_{17}=-26{,}5\).
№578 учебника 2014-2022 (стр. 151):
Последовательность \((a_n)\) — арифметическая прогрессия. Найдите:
а) \(a_{11}\), если \(a_1=-3\) и \(d=0{,}7\);
б) \(a_{26}\), если \(a_1=18\) и \(d=-0{,}6\).
№578 учебника 2023-2026 (стр. 165):
Вспомните:
№578 учебника 2014-2022 (стр. 151):
Вспомните:
№578 учебника 2023-2026 (стр. 165):
\((c_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(c_7=18{,}5\) и \(c_{17}=-26{,}5\).
\(c_n=c_1+(n-1)d\)
\(\begin{cases} c_7=c_1+6d,\\ c_{17}=c_1+16d \end{cases}\)
\(\begin{cases} c_1+6d=18,5,\\ c_1+16d = -26,5 \end{cases}\) \((-)\)
\((c_1+6d)-(c_1+16d)=18{,}5-(-26{,}5)\)
\(\cancel{c_1}+6d-\cancel{c_1}-16d=18{,}5+26{,}5\)
\(-10d = 45\)
\(d=-\frac{45}{10}\)
\(d=-4{,}5\)
\(c_1+6\cdot(-4{,}5)=18{,}5\)
\(c_1-27=18{,}5\)
\(c_1=18{,}5 + 27\)
\(c_1=45{,}5\)
\(c_{20}=c_1+19d=45{,}5+19\cdot(-4{,}5)=\)
\(=45{,}5-85{,}5=-40\)
\(S_n=\dfrac{(c_1+c_n)n}{2}\)
\(S_{20}=\dfrac{(c_1+c_{20})\cdot\cancel{20} ^{\color{blue}{10}} }{\cancel2}=\)
\(=(45{,}5-40)\cdot10=\)
\(=5,5\cdot10=55\)
Ответ: \(S_{20}=55\).
Пояснения:
Для арифметической прогрессии используется формула:
\[c_n=c_1+(n-1)d.\]
Если известны два члена прогрессии, можно составить систему из двух уравнений с неизвестными \(c_1\) и \(d\). Вычитая одно уравнение из другого, исключаем \(c_1\) и находим разность \(d\).
После нахождения разности \(d\) она подставляется в любое из уравнений, чтобы найти первый член прогрессии \(c_1\) .
Далее по формуле \(n\) - го члена находим \(c_{20}\) и вычисляем \(S_{20}\) по формуле суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S_n=\dfrac{(c_1+c_n)n}{2}.\]
№578 учебника 2014-2022 (стр. 151):
а) \(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_1=-3\) и \(d=0{,}7\)
\(a_{11}=-3+(11-1)\cdot0,7=\)
\(=-3+10\cdot0{,}7=-3+7=4\)
б) \(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_1=18\) и \(d=-0{,}6\)
\(a_{26}=18+(26-1)\cdot(-0,6)=\)
\(=18+25\cdot(-0{,}6)=\)
\(=18-15=3\).
Пояснения:
Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число \(d\), называемое разностью прогрессии.
Для нахождения любого члена арифметической прогрессии используется формула:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
а) Подставляем в формулу \(n=11\), \(a_1=-3\), \(d=0{,}7\). Так как разность положительная, значения прогрессии увеличиваются.
б) Подставляем \(n=26\), \(a_1=18\), \(d=-0{,}6\). Разность отрицательная, поэтому значения прогрессии убывают.
Вернуться к содержанию учебника