Упражнение 573 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a_n=3n+2\) - арифметическая прогрессия.

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\)

\(a_1=3\cdot1+2=5\)

а) \(a_{20}=3\cdot20+2=62\)

\(S_{20}=\dfrac{(a_1+a_{20})\cdot\cancel{20}  ^{\color{blue}{10}} }{\cancel2}=\)

\(=(5 + 62)\cdot10 = 67\cdot10=670.\)

б) \(a_{15}=3\cdot15+2=47\)

\(S_{15}=\dfrac{(a_1+a_{15})\cdot15}{2}=\)

\(=\dfrac{(5 + 47)\cdot15}{2} = \dfrac{ ^{\color{blue}{26}} \cancel{52}\cdot15}{\cancel2}=\)

\(=26\cdot15=390\).

Ответ: а) \(S_{20}=670\); \(S_{15}=390\).

Пояснения:

Так как \(a_n=3n+2\) — линейная функция от \(n\), данная последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии находится подстановкой \(n=1\). Для нахождения суммы первых \(n\) членов используется формула:

\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]

а) При \(n=20\) сначала вычисляется двадцатый член прогрессии, затем по формуле находится сумма \(670\).

б) Аналогично при \(n=15\) получаем сумму \(390\).

а) \(x^2+x-42\le 0\)

\(y = x^2+x-42\le 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2+x-42=0\)

\(D=1^2-4\cdot1\cdot(-42)=\)

\(=1+168=169 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{169}=13\)

\(x_1=\dfrac{-1+13}{2\cdot1}= \dfrac{12}{2}=6,\)

\(x_2=\dfrac{-1-13}{2} = -\dfrac{14}{2}=-7\).

Ответ: \(x \in [-7; 6].\)

б) \((x+11)(x+4)(x-1)>0\)

\((x+11)(x+4)(x-1)=0\)

или \(x + 11 = 0,\, \Rightarrow x = -11\).

или \(x + 4 = 0,\, \Rightarrow x=-4\).

или \(x - 1 = 0,\, \Rightarrow x=1\).

Ответ: \(x \in (-11; 4) \cup (1; + \infty )\).

Пояснения:

а) Квадратное неравенство

\(x^2+x-42\le 0\)

решают через корни соответствующего квадратного уравнения \(x^2+x-42=0\). Находим дискриминант и корни \(x=-7\) и \(x=6\). Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, ветви параболы направлены вверх, значит выражение \(\le 0\) на отрезке между корнями, включая сами корни. Поэтому решение \([-7,6]\).

б) Неравенство

\((x+11)(x+4)(x-1)>0\) — произведение трёх линейных множителей. Сначала находим нули произведения: \(-11\), \(-4\), \(1\). Эти точки делят ось на промежутки. На каждом промежутке знак произведения постоянен, поэтому достаточно проверить знак, подставив любое число из промежутка. Получаем, что произведение положительно на промежутках \((-11,-4)\) и \((1,+\infty)\). Так как неравенство строгое, точки \(-11\), \(-4\), \(1\) не входят.