Упражнение 572 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x_n=4n+2\) - арифметическая прогрессия.

\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)

\(x_1=4\cdot1+2=6,\)

1) \(x_{50}=4\cdot50+2=202,\)

\(S_{50}=\dfrac{(x_1+x_{50})\cdot\cancel{50}  ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)

\(=(x_1+x_{50})\cdot25 =\)

\(=(6+ 202)\cdot25 =\)

\(=208\cdot25=5200\).

2) \(x_{100}=4\cdot100+2=402\)

\(S_{100}=\dfrac{(x_1+x_{100})\cdot\cancel{100}  ^{\color{blue}{50}} }{\cancel2}=\)

\(=(x_1+x_{100})\cdot50 =\)

\(=(6+ 402)\cdot50 =\)

\(=408\cdot50=20\,400\).

3) \(x_n=4n+2\)

\(S_n=\dfrac{(6+(4n+2))n}{2}=\)

\(=\dfrac{(6+4n+2)n}{2}=\)

\(=\dfrac{(4n+8)n}{2}=\dfrac{\cancel2(2n+4)n}{\cancel2}=\)

\(=(2n+4)n= 2n^2 + 4n\).

Ответ: \(S_{50}=5200\), \(S_{100}=20\,400\),

\(S_n=2n^2 + 4n\).

б) \(x_n=2n+3\) - арифметическая прогрессия.

\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)

\(x_1=2\cdot1+3=5\)

1) \(x_{50}=2\cdot50+3 = 103\)

\(S_{50}=\dfrac{(x_1+x_{50})\cdot\cancel{50}  ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)

\(=(5 + 103)\cdot25 =\)

\(=108\cdot25=2700\).

2) \(x_{100}=2\cdot100+3 =203\)

\(S_{100}=\dfrac{(x_1+x_{100})\cdot\cancel{100}  ^{\color{blue}{50}} }{\cancel2}=\)

\(=(5 + 203)\cdot50 =\)

\(=208\cdot50 = 10\,400\).

3)  \(x_n=2n+3\)

\(S_n=\dfrac{(5+(2n+3))n}{2}=\)

\(=\dfrac{(5+2n+3)n}{2}=\)

\(=\dfrac{(2n+8)n}{2}=\dfrac{\cancel2(n+4)n}{\cancel2}=\)

\(=n(n+4)=n^2+4n\).

в) \(x_n=n-4\) - арифметическая прогрессия.

\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)

\(x_1=1-4=-3\)

1) \(x_{50}=50-4=46.\)

\(S_{50}=\dfrac{(x_1+x_{50})\cdot\cancel{50}  ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)

\(=(-3 + 46)\cdot25 =\)

\(=43\cdot25 =1075\).

2) \(x_{100}=100-4=96.\)

\(S_{100}=\dfrac{(x_1+x_{100})\cdot\cancel{100}  ^{\color{blue}{50}} }{\cancel2}=\)

\(=(-3 + 96)\cdot50 =\)

\(=93\cdot50 = 4650\).

3) \(x_n=n-4\)

\(S_n=\dfrac{(-3+(n-4))n}{2}=\)

\(=\dfrac{(-3+n-4)n}{2}=\)

\(=\dfrac{(n-7)n}{2}=\dfrac{n^2-7n}{2}\).

Ответ: \(S_{50}=1075\), \(S_{100}=4650\),

\(S_n=\dfrac{n^2-7n}{2}\).

г) \(x_n=3n-1\) - арифметическая прогрессия.

\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)

\(x_1=3\cdot1-1=2\).

1) \(x_{50}=3\cdot50-1=149\).

\(S_{50}=\dfrac{(x_1+x_{50})\cdot\cancel{50}  ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)

\(=(2+149)\cdot25 = \)

\(=151\cdot25 =3775\).

2) \(x_{100}=3\cdot100-1=299\).

\(S_{100}=\dfrac{(x_1+x_{100})\cdot\cancel{100}  ^{\color{blue}{50}} }{\cancel2}=\)

\(=(2+299)\cdot50 = \)

\(=301\cdot50 =15050\).

3) \(x_n=3n-1\)

\(S_n=\dfrac{(2+(3n-1))n}{2}=\)

\(=\dfrac{(2+3n-1)n}{2}=\)

\(=\dfrac{(3n+1)n}{2} =\dfrac{3n^2+n}{2} \)

Пояснения:

Последовательность является арифметической, если её \(n\)-й член задаётся линейной формулой вида \(x_n=an+b\).

Первый член находится подстановкой \(n=1\), а \(n\)-й член берётся из формулы.

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]

Подставляя соответствующие значения, получаем формулы для \(S_{50}\), \(S_{100}\), \(S_n\).

а) \(4x^4+4x^2-15=0\)

Пусть \(x^2=t \ge 0\).

\(4t^2+4t-15=0\)

\(D=4^2-4\cdot4\cdot(-15)=\)

\(=16+240=256 > 0 \) - два корня.

\(\sqrt{D}=16\).

\(t_1=\dfrac{-4+16}{2\cdot4}= \dfrac{12}{8}= \dfrac{3}{2} = 1,5,\)

\(t_2=\dfrac{-4-16}{2\cdot4} =-\dfrac{20}{8} =-\dfrac{5}{2} < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 1,5\), то

\(x^2=1,5\)

\(x=\pm\sqrt{1,5}\)

Ответ: \(x=\pm\sqrt{1,5}\).

б) \(2x^4-x^2-36=0\)

Пусть \(x^2=t > 0\).

\(2t^2-t-36=0\)

\(D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-36) =\)

\(=1+288=289 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{D}=17\).

\(t_1=\dfrac{1+17}{2\cdot2}=\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2} = 4,5,\)

\( t_2=\dfrac{1-17}{2\cdot2}=-\dfrac{16}{4}=-4 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 4,5\), то

\(x^2=4,5\)

\(x=\pm\sqrt{4,5}\)

Ответ: \(x=\pm\sqrt{4,5}\).

Пояснения:

В обоих уравнениях переменная входит только в чётных степенях (биквадратное уравнение), поэтому удобно сделать замену \(x^2=t\). Это позволяет свести уравнение четвёртой степени к квадратному уравнению.

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

После нахождения значений \(t\) учитывается, что \(t=x^2\ge0\). Отрицательные значения \(t\) не дают действительных решений и отбрасываются. Для положительных значений \(t\) находим соответствующие значения \(x\), учитывая то, что их \(x^2 = a\) имеем \(x = \pm\sqrt a\).