Упражнение 565 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} 3x+y=2,\\ x^2-y^2=-12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=2-3x,\\ x^2-(2-3x)^2=-12 \end{cases}\)

\(x^2-(2-3x)^2=-12\)

\(x^2-(4-12x+9x^2)=-12\)

\(x^2-4+12x-9x^2+12=0\)

\(-8x^2+12x+8=0\)  \(/ : (-4)\)

\(2x^2-3x-2=0\)

\(D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=\)

\(=9+16=25 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{25} = 5\).

\(x_1=\dfrac{3+5}{2\cdot2} =\dfrac{8}{4} = 2. \)

\(x_2=\dfrac{3-5}{2\cdot2} =\dfrac{-2}{4} = -\dfrac12 = -0,5. \)

Если \(x=2\), то

\(y=2-3\cdot2=-4\).

Если \(x=-0,5\), то

\(y=2-3\cdot(-0,5)=2 + 1,5 = 3,5.\)

Ответ: \((2;\,-4)\) и \((-0,5; \, 3,5)\).

Пояснения:

Систему решаем методом подстановки. В системе одно линейное и одно квадратное уравнение. Удобно выразить одну переменную из линейного уравнения и подставить её во второе.

После подстановки получается квадратное уравнение относительно одной переменной \(x\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Для каждого найденного значения \(x\) подставляем его в выражение для \(y\), чтобы получить соответствующую пару \((x,y)\).

В результате система имеет два решения.

а) \(x_n=2n-1\)

\(x_1=2\cdot1-1=1\)

\(x_2=2\cdot2-1=3\)

\(x_3=2\cdot3-1=5\)

\(x_4=2\cdot4-1=7\)

\(x_5=2\cdot5-1=9\)

\(x_6=2\cdot6-1=11\)

б) \(x_n=n^2+1\)

\(x_1=1^2+1=2\)

\(x_2=2^2+1=5\)

\(x_3=3^2+1=10\)

\(x_4=4^2+1=17\)

\(x_5=5^2+1=26\)

\(x_6=6^2+1=37\)

в) \(x_n=\dfrac{n}{n+1}\)

\(x_1=\dfrac{1}{1+1} =\dfrac{1}{2} \)

\(x_2=\dfrac{2}{2 + 1}=\dfrac{2}{3}\)

\(x_3=\dfrac{3}{3 + 1}=\dfrac{3}{4}\)

\(x_4=\dfrac{4}{4 + 1}=\dfrac{4}{5}\)

\(x_5=\dfrac{5}{5+1}=\dfrac{5}{6}\)

\(x_6=\dfrac{6}{6+1}=\dfrac{6}{7}\)

г) \(x_n=(-1)^{n+1}\cdot2\)

\(x_1=(-1)^{1+1}\cdot2=(-1)^2\cdot2=2\)

\(x_2=(-1)^{2+1}\cdot2=(-1)^3\cdot2=-2\)

\(x_3=(-1)^{3+1}\cdot2=(-1)^4\cdot2=2\)

\(x_4=(-1)^{4+1}\cdot2=(-1)^5\cdot2=-2\)

\(x_5=(-1)^{5+1}\cdot2=(-1)^6\cdot2=2\)

\(x_6=(-1)^{6+1}\cdot2=(-1)^7\cdot2=-2\)

д) \(x_n=2^{\,n-3}\)

\(x_1=2^{1-3}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}\)

\(x_2=2^{2-3}=2^{-1}=\dfrac{1}{2}\)

\(x_3=2^{3-3}=2^0=1\)

\(x_4=2^{4-3}=2^1=2\)

\(x_5=2^{5-3}=2^2=4\)

\(x_6=2^{6-3}=2^3=8\)

е) \(x_n=0{,}5\cdot4^n\).

\(x_1=0{,}5\cdot4^1=0{,}5\cdot4=2\)

\(x_2=0{,}5\cdot4^2=0{,}5\cdot16=8\)

\(x_3=0{,}5\cdot4^3=0{,}5\cdot64=32\)

\(x_4=0{,}5\cdot4^4=0{,}5\cdot256=128\)

\(x_5=0{,}5\cdot4^5=0{,}5\cdot1024=512\)

\(x_6=0{,}5\cdot4^6=0{,}5\cdot4096=2048\)

Пояснения:

Последовательность задана формулой \(x_n\), поэтому для нахождения первых членов нужно последовательно подставить значения \(n=1,2,3,4,5,6\) в формулу.

а) Формула \(x_n=2n-1\) задаёт последовательность нечётных чисел.

б) Формула \(x_n=n^2+1\) получается из квадратов натуральных чисел, увеличенных на 1.

в) Формула \(x_n=\dfrac{n}{n+1}\) даёт дроби, у которых числитель на 1 меньше знаменателя.

г) В формуле \(x_n=(-1)^{n+1}\cdot2\) степень числа \(-1\) определяет знак члена, поэтому значения чередуются: \(2,-2,2,-2,\ldots\).

д) Формула \(x_n=2^{n-3}\) — это степенная последовательность, начинающаяся с отрицательных показателей.

е) Формула \(x_n=0{,}5\cdot4^n\) задаёт быстро возрастающую степенную последовательность, так как при каждом увеличении \(n\) значение умножается на 4.