Упражнение 500 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} x + y = 7,\\ 2x - y = 2,\\ x^2+xy-y^2 - y=1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x + y = 7,\\ 2x - y = 2 \end{cases}\)   \((+)\)

\((x+y)+(2x-y)=7+2\)

\(x+\cancel{y}+2x-\cancel{y}=9\)

\(3x=9\)

\(x = \frac93\)

\(x=3\)

\(3+y=7\)

\(y = 7 - 3\)

\(y=4\)

\((3;\,4)\) - общая точка графиков первого и второго уравнений.

Проверим третье уравнение:

\(x^2+xy-y^2-y=1\)

Если \(x = 3\), \(y = 4\), то

\(3^2+3\cdot4-4^2-4 = 1\)

\(9+12-16-4 = 1\)

\(1=1\) - верно.

Ответ: графики имеют общую точку \((3;\,4)\).

Пояснения:

Чтобы узнать, имеют ли общую точки графики уравнений, нужно решить систему из этих уравнений. Если система имеет решение, то оно является их общей точкой.

Сначала способом сложения решаем систему из двух первых уравнений исходной системы, затем проверяем являются ли решения этой системы

Использованные правила и приёмы:

1) Решение системы двух линейных уравнений методом сложения.

2) Проверка точки: чтобы три графика имели общую точку, нужно, чтобы одна и та же пара \((x,y)\) удовлетворяла всем трём уравнениям.

Сначала находим точку пересечения двух прямых \(x+y=7\) и \(2x-y=2\). Складываем уравнения, чтобы убрать \(y\): остаётся \(3x=9\), откуда \(x=3\). Подставляем \(x\) в первое уравнение и получаем \(y=4\). Это единственная точка пересечения двух прямых.

Далее подставляем найденные \(x=3\) и \(y=4\) в третье уравнение

\(x^2+xy-y^2-y=1\). Левая часть становится равной \(1\), то есть равенство выполняется. Значит, эта точка лежит и на третьем графике.

Следовательно, графики всех трёх уравнений имеют общую точку \((3;\,4)\).

а) \( \begin{cases} y \ge x^2,\\ y \le 4; \end{cases} \)

\(y = x^2\)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

б) \( \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4,\\ x - y \ge 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4,\\ - y \ge -x      \color{red}|\times(-1) \end{cases}\)

\( \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4,\\ y \le x \end{cases}\)

\(x^2 + y^2 = 4\) - уравнение окружности с центром в точке \((0; 0)\), радиусом \(r=2.\)

в) \( \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9,\\ (x - 3)^2 + y^2 \le 9 \end{cases} \)

\(x^2 + y^2 = 9\) - уравнение окружности с центром в точке \((0; 0)\), радиусом \(r=3.\)

\((x - 3)^2 + y^2 = 9\) - уравнение окружности с центром в точке \((3; 0)\), радиусом \(r=3.\)

г) \( \begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \ge 1,\\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \le 9. \end{cases} \)

\(\color{red}(x - 2)^2 + (y + 1)^2=1\) - уравнение окружности  с центром в точке \((2; -1)\), радиусом \(r=1\).

\(\color{blue}(x - 2)^2 + (y + 1)^2=9\) - уравнение окружности с центром в точке \((2; -1)\), радиусом \(r=3\).

Пояснения:

Основные формулы и факты:

1) График функции \(y = x^2\) — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх. Неравенства вида \(y \ge x^2\) и \(y \le x^2\) задают соответственно область над/под этой параболой (включая её при нестрогом знаке).

2) Уравнение окружности с центром \((a; b)\) и радиусом \(R\): \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. \] Соответственно: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 \le r^2 \] — круг (внутри и на окружности), \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2 \] — внутренняя область без границы, \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 \ge r^2 \] — внешняя область, включая окружность.

3) Линейное уравнение \(x - y = 0\) задаёт прямую, а неравенства \(x - y \ge 0\) и \(x - y \le 0\) — полуплоскости по разные стороны от неё.