Упражнение 488 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} y+x+x^2=0, \\ x-y=10 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=-x-x^2, \\ y=x-10 \end{cases}\)

1) \(y = -x^2 - x\)

\(y = -(x^2 + x)\)

\(y = -((x^2 + x + 0,5^2) - 0,5^2)\)

\(y = -((x + 0,5)^2 - 0,25)\)

\(y = - (x+ 0,5)^2 + 0,25\) - парабола, полученная из параболы \(y = -x^2\) с вершиной в точке \((-0,5; 0,25)\), ветви вниз.

2) \(y=x-10\) - прямая.

Ответ: \((-4,3; -14,3),\;(2,3; 7,7)\).

б) \(\begin{cases} (x-2)^2+y^2=9, \\ y=x^2-4x+4 \end{cases}\)

1)\((x-2)^2+y^2=9\) - окружность с центром в точек \((2; 0)\) и радиусом \(r = 3\).

2) \(y=x^2-4x+4\)

\(y =(x - 2)^2\) - парабола, полученная из параболы \(y = x^2\), с вершиной в точке \((2; 0)\), ветви вверх.

Ответ: \((0,4; 2,5)\), \((3,6; 2,5)\).

в) \(\begin{cases} x^2+y^2=25, \\ y=2x^2-14; \end{cases}\)

1) \(x^2+y^2=25\) - окружность с центром \((0; 0)\) и радиусом \(r = 5\).

2) \(y=2x^2-14\) - парабола, полученная из параболы \(y = 2x^2\), с вершиной в точке \((0; -14)\), ветви вверх.

Ответ: \((-3;4)\), \((3; 4)\),

\((-2,2; - 4,5)\), \((2,2; -4,5)\).

г) \(\begin{cases} x^2+y^2=10, \\ xy=3; \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2+y^2=10, \\ y=\frac3x; \end{cases}\)

1) \(x^2+y^2=10\) - окружность с центром в точке с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(r = \sqrt{10} \approx3,2\).

2) \(y = \frac3x\) - гипербола, ветви в I и III четвертях.

Ответ: \((1;3),\;(3;1),\;(-1;-3),\;(-3;-1)\).

д) \(\begin{cases} x+y=8, \\ (x+1)^2+y^2=81 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=8-x, \\ (x+1)^2+y^2=81 \end{cases}\)

1) \(y = 8 - x\) - прямая.

2) \((x+1)^2+y^2=81\) - окружность с центром \((-1; 0)\) и радиусом \(r = 9\).

Ответ: \((8;0),\;(-1;9)\).

е) \(\begin{cases} y=-x^2+4, \\ y=|x| \end{cases}\)

1) \(y =-x^2+4\) - парабола, полученная из параболы \(y=-x^2\) с вершиной \((0; 4)\), ветви вниз.

2) \(y=|x|\)

Ответ: \((-1,6; 1,6)\), \((-1,6; 1,6)\).

Пояснения:

Решения системы — это точки пересечения графиков двух уравнений.

а) \(xy < 4\)

\[y < \frac{4}{x}, \quad x \ne 0.\]

Граница множества решений — гипербола

\(y = \frac{4}{x}\)

\((2; 4):\)  \(2\cdot4 < 4\) - неверно.

\((0; -2):\)  \(0\cdot(-2) < 4\) - верно.

\((-2; -4):\)  \((-2)\cdot(-4) < 4\) - неверно.

б) \(xy > -6\)

Граница множества решений — гипербола

\(y = -\frac{6}{x}\)

\((-3; 4):\)  \(-3\cdot4 >-6\) - неверно.

\((1; 1):\)  \(1\cdot1 >-6\) - верно.

\((4; -4):\)  \(4\cdot(-4) >-6\) - неверно.

Пояснения:

1. Общий вид неравенств:

Если дано неравенство вида \(xy \,\square\, k\) (где \(\square\) — знак \(<\) или \(>\)), то удобно выразить одну переменную через другую:

\[xy \,\square\, k \;\Longrightarrow\; y \,\square\, \frac{k}{x}, \quad x \ne 0.\]

Это означает, что границей множества решений является гипербола \(y = \dfrac{k}{x}\), а сами решения — точки, лежащие выше или ниже этой гиперболы.

2. Гипербола делит плоскость на три части, чтобы понять, какую из них заштриховать надо подставить координаты любой точки из каждой области и проверить обращается ли неравенство в верное. 

Знак строгий (\(<\) или \(\ > \)) — границу рисуем штриховой и не включаем её в решение; знак нестрогий (\(\le\), \(\ge\)) — границу рисуем сплошной и включаем.