Упражнение 283 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y^{4} - 24y^{2} - 25 = 0\)

\(y^{2} =t \ge0\).

\(t^{2} - 24t - 25 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -24\),  \(c = -25\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-24)^2 - 4\cdot1\cdot(-25) =\)

\(=576 + 100 = 676 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{676} = 26\)

\(t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(t_{1} = \dfrac{24 + 26}{2\cdot1} = \dfrac{50}{2} = 25.\)

\(t_{2} = \dfrac{24 - 26}{2} = -\dfrac22= -1\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 25\), то

\(y^{2} = 25\)

\(y = \sqrt{25}\)

\(y = \pm 5\)

Ответ: \(y = -5; \; 5\).

б) \(x^{4} - 9x^{2} + 18 = 0\)

\(x^{2} =t \ge0\).

\(t^{2} - 9t + 18 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -9\),  \(c = 18\)

\(D = (-9)^2 - 4\cdot1\cdot18 = 81 - 72 = 9\)

\(\sqrt{9} = 3\)

\(t_{1} = \dfrac{9 + 3}{2\cdot1} = \dfrac{12}{2} = 6.\)

\(t_{2} = \dfrac{9 - 3}{2\cdot1} = \dfrac{6}{2} = 3.\)

1) Если \(t = 6\), то

\(x^{2} = 6 \)

\(x = \pm\sqrt{6}\)

2) Если \(t = 6\), то

\(x^{2} = 3 \)

\(x = \pm\sqrt{3}\)

Ответ: \(x = \pm\sqrt{6},\; \pm\sqrt{3}\).

Пояснения:

Уравнения вида \(ax^4+bx^2+c=0\), где \(a\ne0\), являющиеся квадратными относительно \(x^2\), называют биквадратными уравнениями.

Решение биквадратного уравнения:

вводят замену \[x^2 = t \ge 0,\] получают квадратное уравнение \[at^2+bt+c=0.\] Находят корни \(t_1,t_2\), потом для каждого неотрицательного корня решают \[x^2=t,\] то есть \[x=\pm\sqrt{t}.\]

а) \(x^{5} + x^{4} - 6x^{3} - 6x^{2} + 5x + 5 =0\)

\( x^{4}(x + 1) - 6x^{2}(x + 1) + 5(x + 1) =0\)

\((x + 1)(x^{4} - 6x^{2} + 5) = 0\)

или \(x + 1 = 0\)

       \(x = -1\)

или \(x^{4} - 6x^{2} + 5 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t \ge 0\):

\(t^{2} - 6t + 5 = 0.\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 5\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\( = (-6)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 5 =\)

\(=36 - 20 = 16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 4.\)

\(t_{1} = \dfrac{6 + 4}{2\cdot1} = \dfrac{10}{2} = 5.\)

\(t_{2} = \dfrac{6 - 4}{2\cdot1} = \dfrac{2}{2} = 1.\)

1) Если \(t = 5\), то

\(x^{2} = 5\)

\(x = \pm\sqrt{5}.\)

2) Если \(t = 1\), то

\(x^{2} = 1 \)

\(x = \pm \sqrt 1\)

\(x = \pm 1.\)

Ответ: \(x = -\sqrt{5},\; -1,\; 1,\; \sqrt{5}.\)

б) \(x^{5} - x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} - 3x + 3 =0\)

\(x^{4}(x - 1) - 2x^{2}(x - 1) - 3(x - 1)=0\)

\( (x - 1)(x^{4} - 2x^{2} - 3)=0\)

или  \(x - 1 = 0\)

        \(x = 1\)

или  \(x^{4} - 2x^{2} - 3 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t \ge 0\).

\(t^{2} - 2t - 3 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -3\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(= (-2)^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-3) =\)

\(= 4 + 12 = 16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 4.\)

\(t_{1} = \dfrac{2 + 4}{2\cdot1} = \dfrac{6}{2} = 3.\)

\(t_{2} = \dfrac{2 - 4}{2\cdot1} = \dfrac{-2}{2} = -1 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 3\), то

\(x^{2} = 3\)

\(x = \pm\sqrt{3}\)

Ответ: \(x = -\sqrt{3},\; 1,\; \sqrt{3}.\)

Пояснения:

1. В обоих уравнениях использован приём группировки слагаемых. Мы разбили многочлен на несколько частей так, чтобы в каждой части можно было вынести общий множитель, после чего появился общий множитель для всего многочлена.

2. Далее в обоих случаях возникли биквадратные уравнения (содержат только степени \(x^{4}, x^{2}\)). Такие уравнения удобно решать заменой переменной:

\(t = x^{2},\) тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2\).

После замены получаем обычное квадратное уравнение по \(t\), которое решается через дискриминант:

\(D = b^{2} - 4ac,\)

\(t_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\)

3. Каждое найденное значение \(t\) даёт уравнение \(x^{2} = t\). Если \(t > 0\), получаем два корня \(x = \pm\sqrt{t}\). Если \(t = 0\), корень один, если \(t < 0\), действительных решений нет.