Упражнение 114 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = x^2 + 1\)

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; + \infty)\).

2. \(E(f) = [1; +\infty)\).

3. Нули функции не существуют.

4. \(y > 0\) при \(x \in(-\infty; +\infty)\).

5. Функция убывает на \((-\infty;0]\) и возрастает на \([0; + \infty)\).

6. Наименьшее значение функции равно \(1\) при \(x = 0\).

7. Функция является четной.

б) \(y = -x^2 + 4\)

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; + \infty)\).

2. \(E(f) = (-\infty; 4]\).

3. \(y = 0\) при \(x = -2\) и \(x = 2\).

4. \(y > 0\) при \(x \in(-2; 2)\).

\(y < 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\).

5. Функция возрастает на \((-\infty;0]\) и убывает на \([0; + \infty)\).

6. Наибольшее значение функции равно \(4\) при \(x = 0\).

7. Функция является четной.

Пояснения:

Основные свойства функций:

1. Область определения \(D(f)\).

2. Множество значений \(E(f)\).

3. Нули функции - значения аргумента (\(x\)), при которых функция (\(y\)) обращается в нуль.

4. Промежутки знакопостоянства - промежутки, на которых функция сохраняет знак (на промежутках, расположенных выше оси \(x\) функция принимает положительные значения, на промежутках, расположенных ниже оси \(x\) функция принимает отрицательные значения).

5. Промежутки монотонности функции - промежутки возрастания и убывания функции. Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то - убывающей функцией.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции, если существуют.

7. Четность/нечетность функции.

Функция называется четной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно оси ординат (оси \(y\));

- противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

а) \(y= 12x^{2} - 3\)

\(y=0:\)

\( 12x^{2} - 3 = 0 \)

\( 12x^{2} = 3\)

\( x^{2} = \frac{3}{12}\)

\(x^2= \frac14\)

\(x = \pm \frac12\)

Ответ: \(x = \pm \tfrac12\).

б) \(y=6x^{2} + 4\)

\(y=0:\)

\[ 6x^{2} + 4 = 0\]

\( 6x^{2} = -4\)

\(x^{2} = -\frac{4}{6}\) - корней нет, ⇒ функция не имеет нулей.

Ответ: нулей нет.

в) \(y=-x^{2} - 4\)

\(y=0:\)

\( -x^{2} - 4 = 0\)

\( -x^{2} = 4\)

\( x^{2} = -4 \) - корней нет, ⇒ функция не имеет нулей.

Ответ: нулей нет.

Пояснения:

Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называется нулями функции, поэтому, чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение \(y=0\).

Парабола вида \(y = ax^{2} + b\):

— имеет два нуля, если \(ax^{2}+b=0\) даёт два корня; — один нуль — если корень один; — не имеет нулей, если уравнение не имеет решений (например, ведёт к отрицательному \(x^{2}\)).

В пунктах б) и в) выражение \(x^{2}\) получается отрицательным, поэтому нулей нет.