Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел (делитель отличен от нуля) — числа рациональные.
Вспомните:
Пусть даны два рациональных числа:
\(a = \dfrac{p}{q}\), \(b = \dfrac{r}{s}\),
где \(p, q, r, s \in \mathbb{Z}\), \(q \ne 0\), \(s \ne 0\).
а) \( a - b = \dfrac{p}{q} - \dfrac{r}{s} = \dfrac{ps - rq}{qs}. \)
Числа \(ps - rq\) и \(qs\) — целые, знаменатель \(qs \ne 0\), значит, \(a - b\) — рациональное число.
б) \( a \cdot b = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{r}{s} = \dfrac{pr}{qs}. \)
Числа \(pr\) и \(qs\) — целые, \(qs \ne 0\), значит, \(a \cdot b\) — рациональное число.
в) \(b \ne 0\)
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{\dfrac{p}{q}}{\dfrac{r}{s}} = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{s}{r} = \dfrac{ps}{qr}. \)
Так как \(b \ne 0\), то \(\dfrac{r}{s} \ne 0\), значит \(r \ne 0\), поэтому \(qr \ne 0\). Числа \(ps\) и \(qr\) — целые, знаменатель не равен нулю, следовательно, \(\dfrac{a}{b}\) — рациональное число.
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Определение рационального числа.
Число называется рациональным, если его можно представить в виде дроби
\[ x = \dfrac{m}{n}, \]
где \(m \in \mathbb{Z}\) — целое число, \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \ne 0\).
Сложение и вычитание дробей.
Для дробей с разными знаменателями используется правило:
\[ \dfrac{p}{q} \pm \dfrac{r}{s} = \dfrac{ps \pm rq}{qs}, \] где \(q \ne 0\), \(s \ne 0\).
Числитель и знаменатель результата — целые, знаменатель не равен нулю, значит результат — рациональное число.
Умножение дробей.
Произведение дробей:
\[ \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{r}{s} = \dfrac{pr}{qs}. \]
Произведения целых чисел \(pr\) и \(qs\) вновь целые, знаменатель \(qs \ne 0\). Поэтому результат — рациональное число.
Деление дробей.
Частное двух дробей (второе число не равно нулю) переводят к умножению на обратную дробь:
\[ \dfrac{\dfrac{p}{q}}{\dfrac{r}{s}} = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{s}{r} = \dfrac{ps}{qr}. \]
Так как \(\dfrac{r}{s} \ne 0\), то \(r \ne 0\), а значит \(qr \ne 0\). Числитель и знаменатель — целые, знаменатель не ноль, значит это рациональное число.
Итоговое объяснение.
Мы воспользовались только тем, что рациональные числа задаются дробями с целыми числителем и знаменателем, и что целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (сумма, разность и произведение целых — снова целое).
Во всех трёх случаях (разность, произведение и частное) мы получили выражения вида \(\dfrac{\text{целое}}{\text{целое} \ne 0}\), значит, по определению, все эти результаты — рациональные числа.
Вернуться к содержанию учебника