Упражнение 1129 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( y = \sqrt{x} \)

\(y = x\)

а) Общие точки:

\( (0; 0) \) и \( (1; 1) \).

б) График функции \( y = \sqrt{x} \) расположен выше графика функции \( y = x \) при \(x \in (0; 1) \).

График функции \( y = \sqrt{x} \) расположен ниже графика функции \( y = x \) при

\(x \in (1; + \infty) \).

Пояснения:

1) \( y = \sqrt{x} \)

1. Функция определена при любых неотрицательных значениях аргумента, т.е. \(D(y) = [0; +\infty)\).

2. Функция принимает только неотрицательные значения, причем любое неотрицательное число может являться ее значением, т.е.

\(E(y) = [0; + \infty)\).

3. Функция обращается в нуль при \(x = 0\).

4. Функция является возрастающей.

2) \(y = x\) - функция прямой пропорциональности, графиком является возрастающая прямая, проходящая через начало координат. Строим график по двум точкам, так как прямая однозначно задается двумя точками.

Общие точки графиков - это точки их пересечения.

\( y=\sqrt{x^{2}+2\sqrt2\,x+2}+\sqrt{x^{2}-2\sqrt2\,x+2}, \)

где \(-\sqrt2\le x\le \sqrt2, \)

\( y=\sqrt{(x+\sqrt2)^{2}}+\sqrt{(x-\sqrt2)^{2}} \)

\(y=|x+\sqrt2|+|x-\sqrt2|. \)

При \(-\sqrt2\le x\le \sqrt2\):

\(x+\sqrt2\ge0\) и \(x-\sqrt2\le0\). Поэтому

\( |x+\sqrt2|=x+\sqrt2,\)

\(|x-\sqrt2|=-(x-\sqrt2)=\sqrt2-x. \)

\( y=(x+\sqrt2)+(\sqrt2-x)\)

\(y=\cancel x+\sqrt2+\sqrt2-\cancel x\)

\(y=2\sqrt2 \) - линейная функция.

Пояснения:

Выделили полный квадрат под каждым корнем:

\(\sqrt{x^{2}\pm2\sqrt2\,x+2}=\)

\(=\sqrt{(x\pm\sqrt2)^{2}}=|x\pm\sqrt2|\).

При \(-\sqrt2\le x\le \sqrt2\) знаки выражений под модулем фиксированы:

\( x+\sqrt2\ge0,\quad x-\sqrt2\le0\),

следовательно,

\(|x+\sqrt2|=x+\sqrt2,\)

\(|x-\sqrt2|=\sqrt2-x. \)

Сумма модулей сокращает \(x\):

\[ (x+\sqrt2)+(\sqrt2-x)=2\sqrt2. \]

Получили число — частный случай линейной функции (прямая параллельная оси \(x\). Следовательно, на промежутке \([-\,\sqrt2,\sqrt2]\) функция линейна.