Упражнение 1082 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = x^2\).

\(D=(- \infty; +\infty); E=[0; +\infty).\)

б) \(y = x^3\).

\(D=(- \infty; +\infty); E=(- \infty; +\infty).\)

в) \(y = \sqrt{x}\).

 \(D=[0; +\infty); E=[0; +\infty)\).

г) \(y = |x|\).

\(D=(- \infty; +\infty); E=[0; +\infty).\)

Пояснения:

1) Для многочлена чётной степени (\(x^2\)) область определения — все действительные числа, а значения неотрицательны.

2) Для многочлена нечётной степени (\(x^3\)) область и множество значений совпадают со всеми действительными числами.

3) Для функции с квадратным корнем определение возможно только при неотрицательных значениях подкоренного выражения.

4) Для модуля \(|x|\) область определения — все \(x\), а значения всегда неотрицательны.

а) \( \dfrac{x^{-1} + y^{-1}}{(x + y)^{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{x} ^{\color{blue}{\backslash y}} + \dfrac{1}{y} ^{\color{blue}{\backslash x}} }{(x + y)^{2}} =\)

\(=\dfrac{\dfrac{x + y}{xy}}{(x + y)^{2}} =\dfrac{x + y}{xy} : (x + y)^{2}=\)

\(=\dfrac{\cancel{x + y}}{xy} \cdot \frac{1}{(x + y)^{\cancel{{2}}}}=\dfrac{1}{xy(x + y)}. \)

б) \( \dfrac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}} = \dfrac{\dfrac{a}{b} ^{\color{blue}{\backslash a}} - \dfrac{b}{a}^{\color{blue}{\backslash b}} }{\dfrac{1}{a} ^{\color{blue}{\backslash b}} - \dfrac{1}{b} ^{\color{blue}{\backslash a}} } =\)

\(=\dfrac{\dfrac{a^{2} - b^{2}}{ab}}{\dfrac{b - a}{ab}} =\dfrac{a^{2} - b^{2}}{ab} : \dfrac{b - a}{ab}=\)

\(=\dfrac{(a - b)(a+b)}{\cancel{ab}} \cdot \dfrac{\cancel{ab}}{b - a}=\)

\(=\dfrac{(a - b)(a + b)}{-(a - b)} = -(a + b)= \)

\(=-a - b.\)

Пояснения:

Использовано свойство степени с отрицательным показателем:

\( a^{-1} = \dfrac{1}{a}.\)

Также применено свойство дроби:

\[ \dfrac{\dfrac{p}{q}}{\dfrac{r}{s}} = \dfrac{p}{q} : \dfrac{r}{s} = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{s}{r}. \]

В пункте (б) дополнительно использовано разложение разности квадратов: \[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b), \] и учтено, что \(b - a = -(a - b)\).