Упражнение 1024 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(a^2 + ab + b^2 \ge 0\)

\( a^2 + ab + b^2 =\)

\( =a^2 + 2a \cdot \frac12b + (\frac12b)^2 - (\frac12b)^2 + b^2 =\)

\( =\left(a + \frac{1}{2}b\right)^2 - \frac14b^2 + b^2 =\)

\(=\left(a + \frac{1}{2}b\right)^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0\)

Что и требовалось доказать.

б) \(a^2 - ab + b^2 \ge 0\)

\( a^2 + ab + b^2 =\)

\( =a^2 - 2a \cdot \frac12b + (\frac12b)^2 - (\frac12b)^2 + b^2 =\)

\( =\left(a - \frac{1}{2}b\right)^2 - \frac14b^2 + b^2 =\)

\(=\left(a - \frac{1}{2}b\right)^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Метод выделения полного квадрата основан на формулах квадрата суммы и квадрата разности двух выражений:

\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\),

\( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\).

В обоих случаях получили, что выражение состоит из суммы квадратов, а квадрат любого числа \( \ge 0\), поэтому всё выражение неотрицательно при любых \(a\) и \(b\). Что и требовалось доказать.

\((2 - \sqrt{3}) \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}=\)

\(=(2 - \sqrt{3}) \sqrt{4 + 4\sqrt{3} + 3}=\)

\(=(2 - \sqrt{3}) \sqrt{2^2 + 4\sqrt{3} + (\sqrt3)^2}=\)

\(=(2 - \sqrt{3}) \sqrt{(2 + \sqrt3)^2}=\)

\(=(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt3)=\)

\(=2^2 - (\sqrt{3})^2=4 - 3 = 1\)

Пояснения:

Сначала подкоренное выражение преобразуем в квадрат суммы двух выражений:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\).

При этом учитываем то, что:

\((\sqrt a)^2 = a\),

\(\sqrt{a^2} = |a| = a\), при \(a\ge0\).

Затем применяем формулу разности квадратов:

\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).