Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№907 учебника 2023-2025 (стр. 202):
Найдите пересечение и объединение множеств \(X\) и \(Y\), если:
а) \(X\) — множество простых чисел, \(Y\) — множество составных чисел;
б) \(X\) — множество целых чисел, кратных 5, \(Y\) — множество целых чисел, кратных 15.
№907 учебника 2013-2022 (стр. 205):
Докажите, что при \(a>0\) и \(b>0\) верно неравенство:
а) \((a+b)(ab+16)\ge 16ab;\)
б) \((a^{2}+4b)(4b+25)\ge 80ab.\)
№907 учебника 2023-2025 (стр. 202):
Вспомните:
№907 учебника 2013-2022 (стр. 205):
Вспомните:
№907 учебника 2023-2025 (стр. 202):
а) \(X = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots\}\).
\(Y = \{4, 6, 8, 9, 10, 12, \dots\}\).
\(X \cap Y = \varnothing\).
\(X \cup Y = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \dots\}\).
б) \(X=\{\dots, -10, -5, 0, 5, 10, \dots\}\).
\(Y=\{\dots, -30, -15, 0, 15, 30, \dots\}\).
\(X \cap Y = Y\),
\(X \cup Y = X\).
Пояснения:
Пересечение множеств (\(\cap\)) — элементы, которые встречаются и в одном, и в другом множестве. Объединение множеств (\(\cup\)) — все элементы, которые встречаются хотя бы в одном из множеств.
\(\varnothing\) - пустое множество.
а) Простые числа — это числа, имеющие ровно два делителя: 1 и само число.
Составные числа - это числа, которые имеют более двух делителей.
Единица не является ни простым, ни составным числом.
№907 учебника 2013-2022 (стр. 205):
а) \((a+b)(ab+16)\ge 16ab,\)
\(a>0\) и \(b>0\).
\(\frac{a + b}{2} \ge \sqrt {ab}\),
\(\frac{ab + 16}{2} \ge \sqrt {16ab}\)
Перемножаем неравенства:
\(\frac{a + b}{2} \cdot \frac{ab + 16}{2} \ge \sqrt {ab} \cdot \sqrt {16ab}\)
\(\frac{(a + b)(ab + 16)}{4} \ge \sqrt {16a^2b^2}\)
\(\frac{(a + b)(ab + 16)}{4} \ge 4ab\) \(/\times 4\)
\((a + b)(ab + 16) \ge 16ab\)
Что и требовалось доказать.
б) \((a^{2}+4b)(4b+25)\ge 80ab,\)
\(a>0\) и \(b>0\).
\(\frac{a^2 + 4b}{2} \ge \sqrt {4a^2b}\)
\(\frac{4b + 25}{2} \ge \sqrt{100b}\)
Перемножаем неравенства:
\(\frac{a^2 + 4b}{2} \cdot \frac{4b + 25}{2} \ge \sqrt {4a^2b}\cdot\sqrt{100b}\)
\(\frac{(a^2 + 4b)(4b + 25)}{4} \ge \sqrt {400a^2b^2}\)
\(\frac{(a^2 + 4b)(4b + 25)}{4} \ge 20ab\) \(/\times4\)
\((a^2 + 4b)(4b + 25) \ge 80ab\)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
При доказательстве используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел: среднее арифметическое любых двух положительных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому.
Среднее арифметическое двух чисел равно сумме этих чисел, делённой на 2.
Среднее геометрическое двух чисел равно корню квадратному из произведения этих чисел.
Также при доказательстве используем то, что:
- если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство;
- если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Свойства арифметического корня:
\(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}\),
\(\sqrt{a^2} = a\) при \(a \ge 0\).
Вернуться к содержанию учебника