Упражнение 892 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc.\)

\(a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0\)

\(\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab},\)

\(\dfrac{b+c}{2} \geq \sqrt{bc},\)

\(\dfrac{a+c}{2} \geq \sqrt{ac}.\)

\(\dfrac{a+b}{2}\cdot\dfrac{b+c}{2}\cdot\dfrac{a+c}{2} \geq \sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc} \cdot \sqrt{ac} \)

\(\dfrac{(a+b)(b+c)(a+c)}{8} \geq \sqrt{ab \cdot bc \cdot ac} \)

\(\dfrac{(a+b)(b+c)(a+c)}{8} \geq  \sqrt{a^2 b^2 c^2} \)

\(\dfrac{(a+b)(b+c)(a+c)}{8} \geq abc.\)

\(8\cdot\dfrac{(a+b)(b+c)(a+c)}{8} \geq 8abc.\)

\((a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc.\)

Что и требовалось доказать.

б) \(\dfrac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq abc\)

\(a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0\)

\(\dfrac{a+1}{2} \geq \sqrt{a},\)

\(\dfrac{b+1}{2} \geq \sqrt{b},\)

\(\dfrac{a+c}{2} \geq \sqrt{ac},\)

\(\dfrac{b+c}{2} \geq \sqrt{bc}.\)

\(\dfrac{a+1}{2}\cdot\dfrac{b+1}{2}\cdot\dfrac{a+c}{2}\cdot\dfrac{b+c}{2} \geq \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{ac} \cdot \sqrt{bc}\)

\(\dfrac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq \sqrt{a \cdot b \cdot ac \cdot bc}\)

\(\dfrac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq \sqrt{a^2 b^2 c^2}\)

\(\dfrac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq abc.\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел \(x\) и \(y\) выражается следующим неравенством:

\(\dfrac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}.\)

При выполнении доказательств помним:

- если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство.

- если части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется.

Свойства арифметического корня:

1) \(\sqrt a\cdot \sqrt b = \sqrt{ab}\),

2) \(\sqrt {a^2} = |a| = a\), если \(a \geq 0\)

а) \(-3<2x-1<3 \)

\(\begin{cases} 2x-1 > -3,\\ 2x-1<3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x > -3 + 1,\\ 2x<3 + 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x > -2,  / : 2 \\ 2x< 4  / : 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > -1, \\ x< 2 \end{cases}\)

Ответ: \((-1; 2)\).

б) \(-12<5-x<17 \)

\(\begin{cases} 5-x > -12,\\ 5-x<17 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -x > -12 - 5,\\ -x<17 - 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -x > -17,  / : (-1) \\ -x<12 / : (-1) \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 17,\\ x> -12 \end{cases}\)

 Ответ: \((-12; 17)\).

в) \(2<6-2y<5\)

\(\begin{cases} 6-2y > 2,\\ 6-2y<5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -2y > 2 - 6, \\ -2y < 5 - 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -2y > -4,  / : (-2) \\ -2y < -1   / : (-2) \end{cases}\)

\(\begin{cases} y < 2, \\ y > 0,5 \end{cases}\)

Ответ: \((0,5; 2)\).

г) \(-1<5y+4<19\)

\(\begin{cases} 5y+4 > -1,\\ 5y+4<19 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5y > -1 - 4,\\ 5y<19 - 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5y > -5,  / : 5 \\ 5y<15 / : 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y > -1,\\ y<3 \end{cases}\)

Ответ: \((-1; 3)\).

Пояснения:

Двойное неравенство удобно раскладывать на систему из двух простых неравенств:

1) средняя часть больше левой части;

2) средняя часть меньше правой.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.