Упражнение 882 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(5 > 2\)  и  \(4 > 3\)

\(5 \cdot 4 > 2 \cdot 3\)

\(20 > 6.\)

б) \(8 < 10\) и \(\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}\)

\(8 \cdot \frac{1}{4} < 10 \cdot \frac{1}{2}\)

\(2 < 5.\)

Пояснения:

Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство:

- если \(a < b\) и \(c < d\), где \(a, b, c\) и \(d\) - положительные числа, то \(ac < bd\);

- если \(a > b\) и \(c > d\), где \(a, b, c\) и \(d\) - положительные числа, то \(ac > bd\).

а) \(\begin{cases} 57 - 7x > 3x - 2, \\ 22x - 1 < 2x + 47 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -7x - 3x > -2 - 57, \\ 22x - 2x < 47+1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -10x > -59,  / : (-10) \\ 20x < 48  / : 20 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < \frac{59}{10}, \\ x < \frac{48}{20} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 5,9, \\ x < 2,4 \end{cases}\)

Ответ: \((- \infty; 2,4)\).

б) \(\begin{cases} 1 - 12y < 3y + 1, \\ 2 - 6y > 4 + 4y \end{cases}\)

\(\begin{cases} -12y - 3y < 1 - 1, \\ -6y - 4y > 4 - 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -15y < 0, / : (-15) \\ -10y > 2 / : (-10)  \end{cases}\)

\(\begin{cases} y > 0, \\ y < -0,2  \end{cases}\)

Ответ: нет решения.

в) \(\begin{cases} 102 - 73z > 2z + 2, \\ 81 + 11z \geq 1 + z \end{cases}\)

\(\begin{cases} -73z - 2z > 2 - 102, \\ 11z - z \geq 1 - 81 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -75z > -100,  / : (-75) \\ 10z \geq -80  / : 10 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -75z > -100,  / : (-75) \\ 10z \geq -80  / : 10 \end{cases}\)

\(\begin{cases} z < \frac{100}{75}, \\ z \geq -8 \end{cases}\)

\(\begin{cases} z < \frac{4}{3}, \\ z \geq -8 \end{cases}\)

\(\begin{cases} z < 1\frac{1}{3}, \\ z \geq -8 \end{cases}\)

Ответ: \([-8; 1\frac{1}{3})\).

г) \(\begin{cases} 6 + 6,2x \geq 12 - 1,8x, \\ 2 - x \geq 3,5 - 2x \end{cases}\)

\(\begin{cases} 6,2x +1,8x \geq 12 - 6, \\ -x + 2x \geq 3,5 - 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 8x \geq 6,  / : 8 \\ x \geq 1,5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \geq \frac68, \\ x \geq 1,5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \geq \frac34, \\ x \geq 1,5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \geq 0,75, \\ x \geq 1,5 \end{cases}\)

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.