Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№875 учебника 2023-2025 (стр. 194):
Сравните числа:
а) \(\sqrt{11} + 13\) и \(15\);
б) \(\sqrt{84}\) и \(7 + \sqrt{6}\);
в) \(\sqrt{8} - \sqrt{3}\) и \(2\);
г) \(\sqrt{47} - \sqrt{7}\) и \(5\).
№875 учебника 2013-2022 (стр. 197):
Какие из чисел \(-2, 0, 5, 6\) являются решениями системы неравенств:
\(\begin{cases} 3x - 22 < 0, \\ 2x - 1 > 3? \end{cases}\)
№875 учебника 2023-2025 (стр. 194):
Вспомните:
№875 учебника 2013-2022 (стр. 197):
Вспомните:
№875 учебника 2023-2025 (стр. 194):
а) \(\sqrt{11} + 13>15\)
\(\sqrt{11} + 13-13>15-13\)
\(\sqrt{11}>2\)
\((\sqrt{11})^2>2^2\)
\(11>4\)
б) \(\sqrt{84}<7 + \sqrt{6}\)
\((\sqrt{84})^2<(7 + \sqrt{6})^2\)
\(84<49 + 14\sqrt6 + 6\)
\(84<55 + 14\sqrt6\)
\(84 - 55<55 + 14\sqrt6 - 55\)
\(29<14\sqrt6\)
\(29^2<(14\sqrt6)^2\)
\(841<196 \cdot6\)
\(841<1176\)
в) \(\sqrt{8} - \sqrt{3}<2\)
\(\sqrt{8} - \sqrt{3} + \sqrt{3} < 2 + \sqrt{3}\)
\(\sqrt{8} <2 + \sqrt{3}\)
\((\sqrt{8})^2 <(2 + \sqrt{3})^2\)
\(8 < 4 + 4\sqrt3 + 3\)
\(8 < 7 + 4\sqrt3 \)
\(8 - 7 < 7 + 4\sqrt3 - 7\)
\(1 < 4\sqrt3\)
\(1^2 < (4\sqrt3)^2\)
\(1 < 16\cdot3\)
\(1 < 48\)
г) \(\sqrt{47} - \sqrt{7}<5\)
\(\sqrt{47} - \sqrt{7} + \sqrt{7}<5+\sqrt{7}\)
\(\sqrt{47}<5+\sqrt{7}\)
\((\sqrt{47})^2<(5+\sqrt{7})^2\)
\(47 < 25 + 10\sqrt7 + 7\)
\(47 < 32 + 10\sqrt7\)
\(47 - 32 < 32 + 10\sqrt7 - 32\)
\(15 < 10\sqrt7\) \(/:5\)
\(3 <2\sqrt7\)
\(3^2 < (2\sqrt7)^2\)
\(9 < 4 \cdot7\)
\(9 < 28\)
Пояснения:
При сравнении чисел используем свойства неравенств:
1. Если к частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, знак неравенства сохраняется.
2. Если части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется.
Также помним, если \(a\) и \(b\) - положительные числа и \(a^2 > b^2\), то \(a > b\).
Используемые приемы:
- Свойство арифметического корня:
\((\sqrt a)^2 = a\).
- Свойства степени:
\((b\sqrt a)^2 = b^2a\).
- Квадрат суммы двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
№875 учебника 2013-2022 (стр. 197):
\(\begin{cases} 3x - 22 < 0, \\ 2x - 1 > 3 \end{cases}\)
1) Если \(x = -2\), то
\(\begin{cases} 3\cdot (-2) - 22 < 0, \\ 2\cdot (-2) - 1 > 3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} -28 < 0 - верно, \\ -5 > 3 - неверно \end{cases}\)
2) Если \(x = 0\), то
\(\begin{cases} 3\cdot 0 - 22 < 0, \\ 2\cdot 0 - 1 > 3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} - 22 < 0 - верно, \\ - 1 > 3 - неверно \end{cases}\)
3) Если \(x = 5\), то
\(\begin{cases} 3\cdot 5 - 22 < 0, \\ 2\cdot 5 - 1 > 3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} -7 < 0 - верно, \\ 9 > 3 - верно \end{cases}\)
4) Если \(x = 6\), то
\(\begin{cases} 3\cdot 6 - 22 < 0, \\ 2\cdot 6 - 1 > 3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} -4 < 0 - верно, \\ 11 > 3 - верно \end{cases}\)
Ответ: решениями системы являются числа 5 и 6.
Пояснения:
Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.
Вернуться к содержанию учебника