Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№688 учебника 2023-2025 (стр. 161):
(Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:
а) \(\begin{cases}7x+y=8,\\ x-y+3=0;\end{cases}\)
б) \(\begin{cases}6y-4x=7,\\ 8x-12y=-14;\end{cases}\)
в) \(\begin{cases}x-2y=6,\\ y=-4x.\end{cases}\)
1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.
2) Выполните совместно задание а).
3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто - задание в), и выполните их.
4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
№688 учебника 2013-2022 (стр. 154):
Зная, что уравнение \[x^2 + px + q = 0\] имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), составьте квадратное уравнение, имеющее корни:
а) \(3x_1\) и \(3x_2\);
б) \(x_1+2\) и \(x_2+2\).
№688 учебника 2023-2025 (стр. 161):
Вспомните:
№688 учебника 2013-2022 (стр. 154):
№688 учебника 2023-2025 (стр. 161):
а) \(\begin{cases}7x+y=8,\\ x-y+3=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=-7x+8,\\ y=x+3\end{cases}\)
\( k_1=-7\), \(k_2=1\)
\(k_1\ne k_2\) - прямые пересекаются.
Ответ: одно решение.
б) \(\begin{cases}6y-4x=7,\\ 8x-12y=-14;\end{cases}\)
\(\begin{cases}6y=4x+7,\\ 12y=8x+14;\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{4x+7}{6},\\ y=\frac{8x+14}{12};\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{4}{6}x+\frac{7}{6},\\ y=\frac{8}{12}x+\frac{14}{12};\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{6},\\ y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{6};\end{cases}\)
\(k_1=k_2 = \frac23\), \(b_1 = b_2 =\frac76\) - прямые совпадают.
Ответ: бесконечно много решений.
в) \(\begin{cases}x-2y=6,\\ y=-4x.\end{cases}\)
\(\begin{cases}2y=x-6,\\ y=-4x.\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{x-6}{2},\\ y=-4x.\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{1}{2}x-3,\\ y=-4x.\end{cases}\)
\( k_1=\frac12\), \(k_2=-4\)
\(k_1\ne k_2\) - прямые пересекаются.
Ответ: одно решение.
Пояснения:
Линейное уравнение приводим к виду \(y=kx+b\). Если для двух уравнений системы:
\(1)\;k_1\ne k_2\) — прямые пересекаются, система имеет одно решение.
\(2)\;k_1=k_2,\;b_1\ne b_2\) — прямые параллельны, система не имеет решений.
\(3)\;k_1=k_2,\;b_1=b_2\) — прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.
№688 учебника 2013-2022 (стр. 154):
\(x^2 + px + q = 0\)
\(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения.
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -p\),
\(x_1 \cdot x_2 = q\).
а) Новые корни: \(3x_1, 3x_2\).
1) \( 3x_1 + 3x_2 = 3(x_1+x_2) = \)
\(=3\cdot(-p) = -3p. \)
2) \( (3x_1)\cdot(3x_2) = 9x_1x_2 = 9q. \)
Новое уравнение:
\[ x^2 + 3px + 9q = 0. \]
б) Новые корни: \(x_1+2, x_2+2\).
1) \( (x_1+2) + (x_2+2) =\)
\(=(x_1+x_2) + 4 = -p + 4 = p-4. \)
2) \((x_1+2)(x_2+2) =\)
\(=x_1x_2 + 2x_1+2x_2 + 4 =\)
\(=x_1x_2 + 2(x_1+x_2) + 4 =\)
\(=q + 2\cdot(-p) + 4= \)
\( = q - 2p + 4. \)
Новое уравнение:
\( x^2 + (p-4)x + (q - 2p + 4) = 0. \)
Ответ: а) \(x^2 + 3px + 9q = 0\).
б) \(x^2 + (p-4)x + (q - 2p + 4) = 0\).
Пояснения:
Чтобы составить новое уравнение, нужно найти сумму и произведение новых корней. Для этого используем теорему Виета:
\[ x_1+x_2 = -p, \quad x_1x_2 = q. \]
В пункте а) умножаем оба корня на 3, в пункте б) увеличиваем оба корня на 2. Затем подставляем в стандартную форму:
\[ x^2 - Sx + P = 0, \]
где \(S\) — сумма новых корней, \(P\) — их произведение.
Вернуться к содержанию учебника