Упражнение 587 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x^{2}-12x+q=0\)

\(a = 1\),  \(b = -12\),  \(c = q\)

\(x_1 - x_2 = 2\)

По теореме обратной теореме Виета:

\(x_1+x_2 = 12\)  и  \(x_1\cdot x_2 = q\).

Составим систему:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 2,\\ x_1+x_2 = 12 \end{cases} \) \((+)\)

\( \begin{cases} 2x_1 = 14,\\ x_1+x_2 = 12 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac{14}{2},\\ x_2 = 12 - x_1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = 7,\\ x_2 = 12 - 7 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = 7,\\ x_2 = 5 \end{cases} \)

\(x_1\cdot x_2 = q\)

\(q=7\cdot5 = 35\)

Ответ: \(q=35\).

Пояснения:

Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля

\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:

\(x_1 + x_2=-b\),

\(x_1\cdot x_2=c\).

По условию разность корней квадратного уравнения 2, то есть

\(x_1 - x_2 = 2\).

Составляем систему из уравнений суммы и разности корней:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 2,\\ x_1+x_2 = 12 \end{cases} \)

Решаем систему способом сложения и находим значения корней:

\(x_1 = 7,   x_2 = 5\).

Через произведение корней находим коэффициент \(q = 35\).

\(5x^{2}+bx+24=0\)

\(a=5\),  \(b - ?\),  \(c=24\)

\(x_1=8\),  \(x_2 - ?\)

По теореме обратной теореме Виета:

\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)

\(8x_2=4,8\)

\(x_2=\frac{4,8}{8}\)

\(x_2=0,6\).

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\)

\(8 + 0,6=-\dfrac{b}{5}\)

\(8,6=-\dfrac{b}{5}\)    \(/\times(-5)\)

\(b = 8,6\cdot(-5)\)

\(b=-43\).

Ответ: \(x_2= 0,6\),  \(b = -43\).

Пояснения:

Квадратное уравнение

\(ax^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля

\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:

\(x_1 + x_2=-\frac{b}{a}\),

\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\).

Из произведения корней находим второй корень \(x_2\), затем через сумму корней находим коэффициент \(b\).