Упражнение 403 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 96

а) \(7\sqrt{10} = \sqrt{7^2\cdot10}= \sqrt{49\cdot10} =\)

\(=\sqrt{490}.\)

б) \(5\sqrt{3} = \sqrt{5^2\cdot3}=\sqrt{25\cdot3} = \sqrt{75}.\)

в) \(6\sqrt{x} = \sqrt{6^2\cdot x} = \sqrt{36x}.\)

г) \(10\sqrt{y} = \sqrt{10^2\cdot y} = \sqrt{100y}.\)

д) \(3\sqrt{2a} = \sqrt{3^2\cdot2a} =\sqrt{9\cdot2a} = \)

\(=\sqrt{18a}.\)

е) \(5\sqrt{3b} = \sqrt{5^2\cdot3b}=\sqrt{25\cdot3b} =\)

\(=\sqrt{75b}.\)

ж) \(a\sqrt{x^2}= |a|\sqrt{x^2} = \sqrt{a^2\cdot x^2} =\)

\(=\sqrt{a^2x^2}\)   при \(a \geqslant 0\).

\(a\sqrt{x^2} = -|a|\sqrt{x^2}= -\sqrt{a^2\cdot x^2} =\)

\(=-\sqrt{a^2x^2}\)   при \(a < 0\).

з) \(m^2\sqrt{m^3} = \sqrt{(m^2)^2\cdot m^3} = \sqrt{m^7},\)

при любом \(m\), так как \(m^2 \geqslant 0\).

и) \(3xy^2\sqrt{y} =|x|\sqrt{(3y^2)^2\cdot y} =\)

\(=\sqrt{x^2\cdot9y^4\cdot y} = \sqrt{9x^2y^5}\)

при\(x \geqslant 0\) и любом \(y\), так как \(y^2 \geqslant 0\).

\(3xy^2\sqrt{y} =-|x|\sqrt{(3y^2)^2\cdot y} =\)

\(=-\sqrt{x^2\cdot9y^4\cdot y} = -\sqrt{9x^2y^5}\)

при\(x < 0\) и любом \(y\), так как \(y^2 \geqslant 0\).

Пояснения:

– Чтобы внести числовой множитель \(k\) под знак корня, каждый внешний числовой множитель \(k\) возводят в квадрат и умножают на подкоренное выражение:

\( k\sqrt{A} = \sqrt{k^2\cdot A}. \)

– Чтобы внести буквенный множитель \(x\) под знак корня, нужно учесть знак \(x\), то есть рассмотреть 2 случая, когда \(x \geqslant 0\) и когда \(x< 0\), учитывая то, что при \(x \geqslant 0\) имеем \(|x| = x\), а при \(x< 0\) имеем \(|x| = -x\). Затем также как и с числовым множителем внешний буквенный множитель возводят в квадрат и умножают на подкоренное выражение:

\( x\sqrt{A} = |x|\sqrt{A}= \sqrt{x^2\cdot A}, \) при \(x\geqslant 0\);

\( x\sqrt{A} = -|x|\sqrt{A}= -\sqrt{x^2\cdot A}, \) при \(x< 0\).

– Свойства степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\);

\((a^m)^n = a^{mn}\).

а) \(\displaystyle \sqrt{20 736} = \sqrt{2^8\cdot3^4} =\)

\(=\sqrt{(2^4)^2}\cdot\sqrt{(3^2)^2}= |2^4|\cdot|3^2| =\)

\(=16\cdot9 = 144.\)

б) \(\displaystyle \sqrt{50 625} = \sqrt{3^4\cdot5^4} =\)

\(=\sqrt{(3^2)^2}\cdot\sqrt{(3^2)^2}= |3^2|\cdot|5^2| =\)

\(=9\cdot25 = 225.\)

в) \(\displaystyle \sqrt{28 224} = \sqrt{2^6\cdot3^2\cdot7^2} = \)

\(= \sqrt{(2^3)^2}\cdot\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{7^2}=\)

\(=|2^3|\cdot|3|\cdot|7| =8\cdot3\cdot7 = 168.\)

г) \(\displaystyle \sqrt{680 625} = \sqrt{3^2\cdot5^4\cdot11^2} =\)

\(=\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{(5^2)^2}\cdot\sqrt{11^2}=\)

\(=|3|\cdot|5^2|\cdot|11| =3\cdot25\cdot11 = 825.\)

Пояснения:

– Свойство корня из степени:

\( \sqrt{(x^n)^2} = |x^n|.\)

– Свойство корня из произведения:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

– Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

– Определение модуля:

\(|a| = a\), при \(a \ge 0\);

\(|a| = -a\), при \(a \le 0\).

– В каждом случае разложили число на простые множители, сгруппировали их в чётные степени и вынесли из-под корня.

– Конечный результат получен перемножением вынесенных из-под корня простых степеней.