Упражнение 242 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{a}{x-2} ^{\color{red}{\backslash{x+3}}} +\frac{b}{x+3} ^{\color{red}{\backslash{x-2}}} = \)

\(=\frac{a(x+3)}{(x-2)(x+3)}+\frac{b(x-2)}{(x-2)(x+3)}.\)

\(=\frac{a(x+3)+b(x-2)}{(x-2)(x+3)}.\)

\(\frac{5x}{(x-2)(x+3)} =\frac{a(x+3)+b(x-2)}{(x-2)(x+3)}\)

\(a(x+3)+b(x-2)=5x\)

\(ax+3a+bx-2b=5x\)

\((a+b)x + (3a-2b) = 5x + 0\)

Составляем систему:

\(\begin{cases} a+b=5,\color{red}|\times2\\ 3a-2b=0; \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2a+2b=10,\\ 3a-2b=0; \end{cases}\)\(\color{red}+\)

\(5a=10\)

\(a=10:5\)

\(a=2\)

\(2+b=5⇒b=5-2=3\)

Ответ: \(a=2,\;b=3\).

б) \(\frac{a}{x-5}^{\color{red}{\backslash{x+2}}}-\frac{b}{x+2}^{\color{red}{\backslash{x-5}}} =\)

\(=\frac{a(x+2)}{(x-5)(x+2)}-\frac{b(x-5)}{(x-5)(x+2)}.\)

\(=\frac{a(x+2)-b(x-5)}{(x-5)(x+2)}.\)

\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} =\frac{a(x+2)-b(x-5)}{(x-5)(x+2)}.\)

\(a(x+2)-b(x-5)=5x+31\)

\(ax+2a-bx+5b=5x+31\)

\((a-b)x + (2a+5b) = 5x + 31.\)

Составляем систему:

\(\begin{cases} a-b=5,  \color{red}|\times5\\ 2a+5b=31. \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5a-5b=25,\\ 2a+5b=31. \end{cases}\)\(\color{red}+\)

\(7a=56\)

\(a=56:7\)

\(a=8\)

\(8-b=5⇒b=8-5=3.\)

Ответ: \(a=8,\;b=3\).

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители, затем складываем (вычитаем) числители.

2) Приравниваем числители дробей раскрываем скобки. Группируем слагаемые, содержащие переменную, и свободные члены.

3) Составляем систему, приравняв коэффициенты при переменной \(x\) и свободные члены.

4) Решаем полученную систему методом сложения.

\( \biggl(\frac{x+1}{2x} ^{\color{red}{\backslash{x+3}}} + \frac{4}{x+3} ^{\color{red}{\backslash{2x}}} - \frac21 ^{\color{red}{\backslash{2x(x+3)}}} \biggr) :\)

\(:\frac{x+1}{x+3} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \biggl( \frac{(x+1)(x+3) + 8x - 4x(x+3)}{2x(x+3)}\biggr) :\)

\(:\frac{x+1}{x+3} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \biggl( \frac{{\color{red}x^2}+{\color{green}x}+{\color{green}3x}+3+ {\color{green}8x} {\color{red}- 4x^2}{\color{green}-12x}}{2x(x+3)}\biggr) :\)

\(:\frac{x+1}{x+3} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \frac{3- 3x^2}{2x(x+3)} :\frac{x+1}{x+3} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \frac{3(1- x^2)}{2x(x+3)} \cdot\frac{x+3}{x+1} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \frac{3\cancel{(1+x)}(1-x)\cdot\cancel{(x+3)}}{2x\cancel{(x+3)}\cdot\cancel{(x+1)}} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \frac{3(1-x)}{2x} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \frac{3(1-x)-(x^2 - 5x + 3)}{2x} = \)

\(= \frac{\cancel{3}{\color{red}-3x}-x^2 + {\color{red}5x} - \cancel{3}}{2x} = \)

\(= \frac{2x-x^2}{2x} =\frac{\cancel{x}(2-x)}{2\cancel{x}} =\frac{2-x}{2} \), при \(x>2\) выражение \(2-x<0, ⇒\) выражение, данное в задании,  при \(x>2\) является отрицательным числом

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители, затем выполняем сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

1. Привели \(\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2\) к общему знаменателю \(2x(x+3)\), получили дробь \(\frac{3- 3x^2}{2x(x+3)}\).

2. Разделили на \(\frac{x+1}{x+3}\), умножив на её обратную, и сократили \((x+1)\) и \((x+3)\), получили \(\frac{3(1-x)}{2x}\).

3. Затем вычли \(\frac{x^2-5x+3}{2x}\), объединив дроби с общим знаменателем \(2x.\) В итоге получили \(\frac{2-x}{2}.\)

Поскольку при \(x>2\) число \(2-x\) отрицательно, выражение \(\frac{2-x}{2}\) отрицательно, что и требовалось доказать.