Упражнение 226 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(\frac{a}{b}\) - правильная несократимая дробь.

Дополним дробь до единицы:

\(\frac{a}{b} + \frac{b-a}{b} = 1,\) значит рассматриваемая дробь - \(\displaystyle \frac{b-a}{b}\).

Предположим, что  \(\frac{b-a}{b}\) - сокращается на некоторое число \(c\), при этом при сокращении в знаменателе получаем \(x\), в знаменателе \(y\), то есть:

\({b-a}=cx\); \(b=cy\), откуда,

\(a=b-cx=cy-cx=c(y-x);\)

Получаем, \(\frac{a}{b}=\frac{c(y-x)}{cy}\), но данная дробь сокращается на \(c\), что противоречит условию, следовательно, предположение неверно и дробь  \(\frac{b-a}{b}\) несократима, что  и требовалось доказать.

Пояснения:

Определение несократимой дроби:

Дробь \(\displaystyle \frac{p}{q}\) называется несократимой, если числа \(p,q\) взаимно простые.

а) \( \frac{3b^2-5b-1}{b^2y}^{\color{red}{\backslash1}} +\frac{5b-3}{by}^{\color{red}{\backslash{b}}} =\)

\(=\frac{3b^2-5b-1}{b^2y} +\frac{b(5b-3)}{b^2y} =\)

\(=\frac{3b^2-5b-1+5b^2-3b}{b^2y} =\)

\(=\frac{8b^2-8b-1}{b^2y}. \)

б) \(\frac{a^2-a+1}{a^3x}^{\color{red}{\backslash{x^2}}} -\frac{x^2-1}{ax^3}^{\color{red}{\backslash{a^2}}} =\)

\(=\frac{(a^2-a+1)x^2}{a^3x^3} -\frac{a^2(x^2-1)}{a^3x^3} =\)

\(=\frac{a^2x^2-ax^2+x^2 -a^2x^2+a^2}{a^3x^3} =\)

\(=\frac{-ax^2+x^2+a^2}{a^3x^3}. \)

в)  \( \frac{1+c}{c^3y^4}^{\color{red}{\backslash{y^4}}} -\frac{c^3+y^4}{c^2y^8}^{\color{red}{\backslash{c}}} =\)

\(=\frac{(1+c)y^4}{c^3y^8} -\frac{c(c^3+y^4)}{c^3y^8} =\)

\(=\frac{y^4+cy^4 -c^4 -cy^4}{c^3y^8}=\frac{y^4-c^4}{c^3y^8}. \)

г) \( \frac{c^2+x^2}{c^2x^5}^{\color{red}{\backslash{c}}} -\frac{c+x}{c^3x^3}^{\color{red}{\backslash{x^2}}} =\)

\(=\frac{c(c^2+x^2)}{c^3x^5} -\frac{x^2(c+x)}{c^3x^5} =\)

\(=\frac{c^3+cx^2 -cx^2 -x^3}{c^3x^5} =\frac{c^3 - x^3}{c^3x^5}. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

– Чтобы сложить или вычесть рациональные дроби, нужно привести их к общему знаменателю.

– Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых в числителе.

Для пункта а): мы выбрали общий знаменатель \(b^2y\), домножили вторую дробь на \(\tfrac b b\), сложили числители.

Для пункта б): общий знаменатель \(a^3x^3\), домножили первую дробь на \(\tfrac{x^2}{x^2}\), вторую — на \(\tfrac{a^2}{a^2}\), затем раскрыли скобки и привели подобные.

Для пункта в): общий знаменатель \(c^3y^8\), первую дробь умножили на \(\tfrac{y^4}{y^4}\), вторую — на \(\tfrac{c}{c}\), выполнили вычитание.

Для пункта г): общий знаменатель \(c^3x^5\), первую дробь домножили на \(\tfrac c c\), вторую — на \(\tfrac{x^2}{x^2}\), в итоговом числителе увидели разность кубов \(c^3-x^3\).